Tôi cá là nhiều GV loay hoay...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nhẫn Trí Đạt hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Chứng minh rằng: Hàm số$y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|}$ không tồn tại đạo hàm tại x=0 nhưng đạt Cực tiểu tại đó.
Giải:
Bài toán sẽ gây phiền toái cho rất nhiều bạn, mặc dù nó áp dụng kiến thức rất căn bản trong SGK.
Tôi cá rằng nhiều giáo viên luyện thi ĐH cũng sẽ loay hoay bài này vì nó không phải là kiến thức thi ĐH.
a) Chứng minh: Không tồn tại đạo hàm tại x=0.
Xét $f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x + 0} \right) - f\left( 0 \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {\left| {\Delta x} \right|} }}{{\Delta x}}.$

Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {\left| {\Delta x} \right|} }}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {\Delta x} }}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {\Delta x} }} =  + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {\left| {\Delta x} \right|} }}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }}  - \frac{{\sqrt {\Delta x} }}{{\Delta x}} =  - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt {\Delta x} }} =  - \infty
\end{array} \right.$
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x=0.
b) Chứng minh: Hàm số đạt cực tiểu tại đó. Thật vậy, ta có:
$y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|}  = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x \, \Leftrightarrow \,x > 0\\
\sqrt { - x}  \Leftrightarrow x < 0
\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{2\sqrt x }} > 0\,,\forall \,x > 0\\
 - \frac{1}{{2\sqrt { - x} }} < 0,\forall \,x > 0
\end{array} \right.$
Do đạo hàm đổi dấu từ âm "-" sang dương "+" khi đi qua điểm x=0 nên x=0 là điểm Cực tiểu.