MÒ để CÓ CĂN CỨ.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Milky Way hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình sau:$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {x^2} + 3x = {y^3} + {y^2} + 3\\
\left( {x + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = 4
\end{array} \right.$
Giải:
Nhìn vào HPT chúng ta nghĩ ngay đến phép thế, khổ nỗi thứ từ PT2 vào PT1 ta sẽ nhận được PT phức tạp hơn và cũng không có điều kiện của x hay y để nghĩ đến việc xét hàm từ PT phức tạp này.
Khi giải HPT hay PT vô tỷ chúng ta cũng hay nhẩm nghiệm bằng tay hoặc bằng máy tính Casio.
Ở đây cũng vậy chúng ta nhẩm thấy HPT có 2 nghiệm đẹp là (1;0) và (-3;-4). Ta sẽ lập PT đường thẳng đi qua 2 điểm này là: y=x-1 hay x-y-1=0. Khi đó chúng ta cố gắng đưa HPT về đẳng thức xuất hiện một nhân tử là (x-y-1) và ta có cách giải sau đây:
\[\begin{array}{l}
HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x^3} - {y^3}} \right) - \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 3x + xy - 3 = 0\\
xy + 2x + y - 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 3x + xy - 3 = 0\\
xy + 2x + y - 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - y - 1} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + 3x + xy - 3 = 0\left( 1 \right)\\
xy + 2x + y - 2 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x - y - 1} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + \left( {x - y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y - 1} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - y - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\left( {Do\,{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 1 \ge 1 > 0\,} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y + 1\\
\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y + 1\\
{y^2} + 4y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow S = \left\{ {\left( {1;0} \right),\left( { - 3; - 4} \right)} \right\}
\end{array}\]