Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chiến hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O(6;6) và ngoại tiếp đường tròn tâm I(4;5), biết rằng A(2;3) và hoành độ điểm B nhỏ hơn hoành độ điểm C. Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.
Giải:
Một bài toán rất hay! Liên quan rất nhiều kiến thức lớp 9, đặc biệt là tính chất của "Góc có đỉnh nằm bên trong và bên ngoài đường tròn". Việc chứng minh tính chất đặc biệt mới là vấn đề quan trọng của bài toán, còn việc toạ độ hoá thì không có gì khó khăn. Sau đây thầy sẽ giải quyết cả 2 việc đó để các em thấy:

Tính chất đặc biệt - sặc mùi hình phẳng:
"Giao điểm thứ 2 của AI với (O) là tâm (BIC)"
Gọi giao điểm thứ 2 của AI với (O) là D ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{A_1} = {A_2} = \dfrac{A}{2}\\
{A_1} = \widehat {DBC} = \dfrac{{sd\left( {DmC} \right)}}{2}\\
\widehat {DBC} = {C_1}\left( {DB = DC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow {C_1} = \dfrac{A}{2}\\
 \Rightarrow \widehat {DCI} = {C_1} + {C_2} = \dfrac{A}{2} + \dfrac{C}{2}\left( {Do\,{C_2} = {C_3} = \dfrac{C}{2}} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {DCI} = \dfrac{{A + C}}{2}\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{C_3} = \dfrac{{sd\left( {AnE} \right)}}{2} = \dfrac{C}{2} \Leftrightarrow C = sd\left( {AnE} \right)\\
{A_1} = \dfrac{{sd\left( {CmD} \right)}}{2} = \dfrac{A}{2} \Leftrightarrow A = sd\left( {CmD} \right)\\
\widehat {DIC} = \dfrac{{sd\left( {AnE} \right) + sd\left( {CmD} \right)}}{2}
\end{array} \right.
\end{array}.$


$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {DIC} = \dfrac{{A + C}}{2}\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {DCI} = \widehat {DIC}\left( {Do\,(1)\& (2)} \right) \Rightarrow DC = DI = DB \Rightarrow B,C,I \in \left( {D,DB} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
A\left( {2;3} \right)\\
O\left( {6;6} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( O \right):{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 25.\,\\
AI:\left( {x - 2} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow AI \cap \left( O \right) = D\left( {9;10} \right) \ne A \Rightarrow DI = 5\sqrt 2\\
 \Rightarrow \left( D \right):{\left( {x - 9} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 50 \Rightarrow B,C = \left( O \right) \cap \left( D \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x - 9} \right)}^2} + {{\left( {y - 10} \right)}^2} = 50}\\
{{{\left( {x - 6} \right)}^2} + {{\left( {y - 6} \right)}^2} = 25}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow B\left( 2;9 \right)\& C\left( {10;3} \right)\left( {Do\,{x_B} < {x_C}} \right)
\end{array}.$