Tư duy phát hiện chân đường cao hình chóp.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Kiều Nga hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều ABC có các cạnh bằng $\sqrt 6$. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3$\sqrt 2$. Tính thể tích của khối chóp.
Giải:
Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy ABC và gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC và CA. Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB;\,\\ HM \bot AB \end{array} \right.\\  \Rightarrow AB \bot \left( {AHM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SM.AB\\ {S_{SBC}} = \dfrac{1}{2}SN.BC\\ {S_{SCA}} = \dfrac{1}{2}SP.CA\\ {S_{SAB}} = {S_{SBC}} = {S_{SCA}}\& \,AB = BC = CA \end{array} \right.\\  \Rightarrow SM = SN = SP\left( 1 \right)\\ SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HM,\,SH \bot HN,SH \bot HP(2)\\ \Delta SHM = \Delta SHN = \Delta SHP\left( {Do\,(1),(2)\& SH\,chung} \right)\\  \Rightarrow HM = HN = HP \end{array}$

Khi đó H chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC và cũng chính là tâm của ABC hay, M, N, P là các trung điểm của AB, BC và CA nên:
 $\begin{array}{l} HC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 4\\ {S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.4 = 2\sqrt 3 \end{array}$