Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác đều ABC có các cạnh bằng $\sqrt 6$. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3$\sqrt 2$. Tính thể tích của khối chóp.
Giải:
Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy ABC và gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC và CA. Khi đó ta có:
\left\{ \begin{array}{l}
SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB;\,\\
HM \bot AB
\end{array} \right.\\
\Rightarrow AB \bot \left( {AHM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SM.AB\\
{S_{SBC}} = \dfrac{1}{2}SN.BC\\
{S_{SCA}} = \dfrac{1}{2}SP.CA\\
{S_{SAB}} = {S_{SBC}} = {S_{SCA}}\& \,AB = BC = CA
\end{array} \right.\\
\Rightarrow SM = SN = SP\left( 1 \right)\\
SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HM,\,SH \bot HN,SH \bot HP(2)\\
\Delta SHM = \Delta SHN = \Delta SHP\left( {Do\,(1),(2)\& SH\,chung} \right)\\
\Rightarrow HM = HN = HP
\end{array}$
Khi đó H chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC và cũng chính là tâm của ABC hay, M, N, P là các trung điểm của AB, BC và CA nên:
$\begin{array}{l}
HC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 4\\
{S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.4 = 2\sqrt 3
\end{array}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét