Bài toán đơn giản hơn khi sử dụng công thức.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Vương Thị Như Bảo hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với  hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD=2AB.
Biết điểm N(4;2) thuộc đoạn CD thõa mãn DN=2NC.

Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho BC =4BM.
Tìm tọa độ của điểm A biết phương trình đường thẳng AM: x+2y-18=0.
Giải:
Bài toán đơn giản và có rất nhiều cách. Chúng ta có thể gọi các cạnh của hình chữ nhật ABCD rồi tính AM, MN, AN sau đó tính được cosMAN và gọi toạ độ vectơ pháp tuyến của AN ta hoàn toàn tính được.
Thầy sẽ sử dụng một số công thức về lượng giác như đã chia sẽ ở ĐÂY vào bài này như sau:

Gọi độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là AB=a; BC=2a.
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\tan \,\widehat {BAM} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{2}\\
\tan \widehat {DAN} = \frac{{ND}}{{AD}} = \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAM} + \tan \widehat {DAN}}}{{1 - \tan \widehat {BAM}.\tan \widehat {DAN}}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{6}}} = \frac{{\frac{5}{6}}}{{\frac{5}{6}}} = 1\\
 \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {DAN} = {45^0}\left( {Do\,0 < \widehat {BAM} + \widehat {DAN} < {{90}^0}} \right) \Rightarrow \widehat {MAN} = 90 - \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) = {45^0}\\
 \Rightarrow \tan \widehat {MAN} = \tan \left( {AN,AM} \right) = \left| {\frac{{k + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{k}{2}}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k =  - 3\\
k = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
 \bullet \,Khi\,k =  - 3 \Rightarrow AN:y =  - 3\left( {x - 4} \right) + 2 \Leftrightarrow 3x + y - 14 = 0 \Rightarrow A\left( {{x_0};{y_0}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + 2{y_0} = 18\\
3{x_0} + {y_0} = 14
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;8} \right)\\
 \bullet \,Khi\,k = \frac{1}{3} \Rightarrow AN:y = \frac{1}{3}\left( {x - 4} \right) + 2 \Leftrightarrow x - 3y + 2 = 0 \Rightarrow A\left( {{x_0};{y_0}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + 2{y_0} = 18\\
{x_0} - 3{y_0} =  - 2
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {10;4} \right)
\end{array}\]Sau đây là một bài tập tương tự:
Cho hình vuông ABCD có M(4;2) là trung điểm BC, E thuộc CD sao cho CE=3DE, PT AE:4x+y-4=0.Tìm tọa độ A biết tung độ của A dương.