Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB=a, AD=2a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho: AB=3AH. Biết ${S_{SAB}} = {a^2}.$ Tính góc giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Giải:
{S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SH.AB \Leftrightarrow SH = \dfrac{{2{S_{SAB}}}}{{AB}} = 2a\& \,SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC\& SH \bot AB\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{3};\,SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{3}\\
SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{H^2} + B{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt {76} }}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OM = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}\\
OB = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}.$
Gọi M là trung điểm của SC, khi đó OM là đường trung bình của tam giác SAC nên:
$\begin{array}{l}
OM//SA \Rightarrow \widehat {\left( {SA,BD} \right)} = \widehat {\left( {OM,BD} \right)} = \widehat {MOB} = \alpha \\
\Rightarrow B{M^2} = \dfrac{{S{B^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2}}}{4} = \dfrac{{a\sqrt {19} }}{3} \Rightarrow cos\,\alpha = \dfrac{{O{M^2} + O{B^2} - M{B^2}}}{{2OM.OB}} = \dfrac{1}{{\sqrt {185} }}
\end{array}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét