Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Đề bài: (Câu hỏi bạn Nam Phạm hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với  AB=a, AD=2a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho: AB=3AH. Biết ${S_{SAB}} = {a^2}.$ Tính góc giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Giải:

$\begin{array}{l} {S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}SH.AB \Leftrightarrow SH = \dfrac{{2{S_{SAB}}}}{{AB}} = 2a\& \,SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC\& SH \bot AB\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} SA = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{3};\,SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}}  = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{3}\\ SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {S{H^2} + B{H^2} + B{C^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {76} }}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OM = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}\\ OB = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}.$

Gọi M là trung điểm của SC, khi đó OM là đường trung bình của tam giác SAC nên:
$\begin{array}{l} OM//SA \Rightarrow \widehat {\left( {SA,BD} \right)} = \widehat {\left( {OM,BD} \right)} = \widehat {MOB} = \alpha \\  \Rightarrow B{M^2} = \dfrac{{S{B^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2}}}{4} = \dfrac{{a\sqrt {19} }}{3} \Rightarrow cos\,\alpha  = \dfrac{{O{M^2} + O{B^2} - M{B^2}}}{{2OM.OB}} = \dfrac{1}{{\sqrt {185} }} \end{array}.$