Mỗi ngày một tính chất Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hằng Pêlêlốp hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho đường tròn (C) : x^2+y^2=25 ngoại tiếp tam giác ABC có toạ độ chân đường cao kẻ từ B;C lần lượt là M(1;3) ,N(2;3).Tìm toạ độ A;B;C biết A có tung độ âm.
Giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} CN \bot AB\\ BM \bot AC \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BNC} = {90^0}.$
Khi đó BCMN là tứ giác nội tiếp nên:
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat {ACB} + \widehat {BNM} = {180^0}\\ \widehat {ANM} + \widehat {BNM} = {180^0} \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ANM}\left( 1 \right).$
Gọi At là tiếp tuyến tại A với (O) ta thấy:
$\widehat {tAB} = \widehat {ACB}$(= sđ cung AB)
$\Rightarrow \widehat {tAB} = \widehat {ANM} \Rightarrow At//MN \Rightarrow AO \bot MN\left( {AO \bot At} \right).$

$\begin{array}{l}  \Rightarrow \widehat {tAB} = \widehat {ANM} \Rightarrow At//MN \Rightarrow AO \bot MN\left( {AO \bot At} \right)\\  \Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow n  = \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0} \right)\\ O\left( {0;0} \right) \end{array} \right. \Rightarrow OA:x = 0\\  \Rightarrow A\left( {{x_0};{y_0}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 + y_0^2 = 25\\ {x_0} = 0\\ {y_0} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;5} \right) \end{array}.$
$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AN \equiv AB:x + y - 5 = 0 \Rightarrow B\left( {{x_0};{y_0}} \right):\left\{ \begin{array}{l} {x_0} + {y_0} = 5\\ x_0^2 + y_0^2 = 25 \end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {5;0} \right) \ne A\left( {0;5} \right)\\ AM \equiv AC:2x + y - 5 = 0 \Rightarrow C\left( {{x_0};{y_0}} \right):\left\{ \begin{array}{l} 2{x_0} + {y_0} = 5\\ x_0^2 + y_0^2 = 25 \end{array} \right. \Leftrightarrow C\left( {4; - 3} \right) \ne A\left( {0;5} \right) \end{array} \right.$$