Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chit Bong Doan hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
4{x^2} + 3x - \frac{{57}}{{25}} = - y\left( {3x + 1} \right)\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
Giả sử tồn tại 2 số thực a và b sao cho:\[\begin{array}{l}
a.\left( 1 \right) + b.\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {a\, + 4b} \right){x^2} + a{y^2} + 3bxy + 3bx + by = \frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {a + 4b} \,x + \sqrt a \,y + c} \right)^2} = \frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}} + {c^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {a\left( {a + 4b} \right)} = 3b\\
2c\sqrt {a + 4b} = 3b\\
2c\sqrt a = b\\
\frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}} + {c^2} = {k^2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}} + {c^2} = {k^2}\\
b = 2a;\,c = \sqrt a
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1;\,b = 2;\,c = 1\\
k = \frac{{12}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {3x + y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2}
\end{array}\]
Vậy ta có lời giải ngắn gọn như sau:\[\begin{array}{l}
\left( 1 \right) + 2.\left( 2 \right) \Leftrightarrow 9{x^2} + {y^2} + 6xy + 6x + 2y = \frac{{119}}{{25}} \Leftrightarrow {\left( {3x + y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + y + 1 = \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow y = \frac{7}{5} - 3x\\
3x + y + 1 = - \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow y = - \frac{{17}}{5} - 3x
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
Khi\,y = \frac{7}{5} - 3x \Rightarrow {x^2} + {\left( {\frac{7}{5} - 3x} \right)^2} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 250{x^2} - 210x + 44 = 0 \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{2}{5};\frac{1}{5}} \right);\left( {\frac{{11}}{{25}};\frac{2}{{25}}} \right)\\
Khi\,y = - \frac{{17}}{5} - 3x \Rightarrow {x^2} + {\left( {3x + \frac{{17}}{5}} \right)^2} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 250{x^2} + 510x + 284 = 0 \Leftrightarrow V{N_0}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét