Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ 4{x^2} + 3x - \frac{{57}}{{25}} = - y\left( {3x + 1} \right)\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.
Giải:
Giả sử tồn tại 2 số thực a và b sao cho:\begin{array}{l} a.\left( 1 \right) + b.\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {a\, + 4b} \right){x^2} + a{y^2} + 3bxy + 3bx + by = \frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {a + 4b} \,x + \sqrt a \,y + c} \right)^2} = \frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}} + {c^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt {a\left( {a + 4b} \right)} = 3b\\ 2c\sqrt {a + 4b} = 3b\\ 2c\sqrt a = b\\ \frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}} + {c^2} = {k^2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{5} + \frac{{57b}}{{25}} + {c^2} = {k^2}\\ b = 2a;\,c = \sqrt a \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1;\,b = 2;\,c = 1\\ k = \frac{{12}}{5} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {3x + y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2} \end{array}
Vậy ta có lời giải ngắn gọn như sau:\begin{array}{l} \left( 1 \right) + 2.\left( 2 \right) \Leftrightarrow 9{x^2} + {y^2} + 6xy + 6x + 2y = \frac{{119}}{{25}} \Leftrightarrow {\left( {3x + y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{12}}{5}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x + y + 1 = \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow y = \frac{7}{5} - 3x\\ 3x + y + 1 = - \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow y = - \frac{{17}}{5} - 3x \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} Khi\,y = \frac{7}{5} - 3x \Rightarrow {x^2} + {\left( {\frac{7}{5} - 3x} \right)^2} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 250{x^2} - 210x + 44 = 0 \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{2}{5};\frac{1}{5}} \right);\left( {\frac{{11}}{{25}};\frac{2}{{25}}} \right)\\ Khi\,y = - \frac{{17}}{5} - 3x \Rightarrow {x^2} + {\left( {3x + \frac{{17}}{5}} \right)^2} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow 250{x^2} + 510x + 284 = 0 \Leftrightarrow V{N_0} \end{array} \right. \end{array}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét