Mỗi ngày một tính chất hình Oxy - Sáng tạo từ giả thiết!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trọng Đường hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giac ABC có B(7;-1) , C(-1;5), đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tại E và F. EF có phương trình là x+y=0. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
Giải:
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên EF ta có:

$\begin{array}{l}
 \bullet \left\{ \begin{array}{l}
C\left( { - 1;5} \right)\\
EF:x + y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow EF \bot CN\left( {N \in EF} \right)\\
 \Rightarrow CN:x - y + 6 = 0 \Rightarrow N\left( { - 3;3} \right)\\
 \bullet \left\{ \begin{array}{l}
B\left( {7; - 1} \right)\\
EF:x + y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow EF \bot BM\left( {M \in EF} \right)\\
 \Rightarrow BM:x - y - 8 = 0 \Rightarrow M\left( {4; - 4} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BM = 3\sqrt 2 \\
CN = 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{CN}} = \dfrac{3}{2}
\end{array}.$

$\begin{array}{l}
Do\,\Delta CNF \simeq \Delta BME \Rightarrow \dfrac{3}{2} = \dfrac{{BM}}{{CN}} = \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{BD}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{3} = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{BC}}{5} = 2\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD = 6 \Rightarrow ME = \sqrt {B{E^2} - B{M^2}}  = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}}  = 3\sqrt 2 \\
CD = 4 \Rightarrow NF = \sqrt {C{F^2} - C{N^2}}  = \sqrt {C{D^2} - C{N^2}}  = 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Rightarrow EF = MN - ME - NF = 2\sqrt 2 \\
Coi\,\left\{ \begin{array}{l}
E\left( {e; - e} \right) \in EF \Rightarrow 18 = M{E^2} = 2{\left( {e - 4} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
E\left( {7; - 7} \right)\left( {Loai\,do\,\overrightarrow {ME}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {MN} } \right)\\
E\left( {1; - 1} \right)\left( {t/m\,do\,\overrightarrow {ME}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {MN} \,} \right)
\end{array} \right.\\
F\left( {f; - f} \right) \in EF \Rightarrow 8 = N{F^2} = 2{\left( {f + 3} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
F\left( { - 1;1} \right)\left( {t/m\,do\,\overrightarrow {FN}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {MN} \,} \right)\\
F\left( { - 5;5} \right)\left( {Loai\,do\,\overrightarrow {FN}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {MN} } \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
E\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow EI:x = 1\\
F\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow FI:y = 1
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;1} \right) \Rightarrow \left( I \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4
\end{array}.$