Chia trường hợp trong bài toán cực trị hình học.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chiến hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1;1), B(3;2) và C(7;10). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến Δ là lớn nhất.
Giải:
Bài toán rất hay và có thể phát triển thành một chùm bài toán khác! Trước hết thầy giải bài toán này:
Ta có 2 khả năng sau cho bài toán:
Khả năng 1: (BC cắt Δ tại điểm I) 

Khi đó ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d\left( {B \to \Delta } \right) = BH \le BI\\ d\left( {C \to \Delta } \right) = CK \le CI \end{array} \right.\\  \Rightarrow d\left( {B \to \Delta } \right) + d\left( {C \to \Delta } \right) \le BI + CI = BC \end{array}.$
Dấu "=" xảy ra khi Δ vuông góc với BC.
Khả năng 2: (BC không cắt Δ) 
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ta có M(5;6).
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d\left( {B \to \Delta } \right) = BH = ML\\ d\left( {C \to \Delta } \right) = CK = ML \end{array} \right.\\  \Rightarrow d\left( {B \to \Delta } \right) + d\left( {C \to \Delta } \right) = 2ML \le 2MA \end{array}.$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi Δ⊥MA. Mặt khác:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BC = \sqrt {16 + 64}  = \sqrt {80} \\ 2MA = 2\sqrt {16 + 25}  = \sqrt {164} \end{array} \right. \Rightarrow Max\left[ {d\left( {B \to \Delta } \right) + d\left( {C \to \Delta } \right)} \right] = 2ML = \sqrt {164} \\  \Leftrightarrow \Delta \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AM}  = \left( {4;5} \right)\\ A\left( {1;1} \right) \in \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \Delta :4\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \Delta :4x + 5y - 9 = 0 \end{array}.$
Mở rộng bài toán cho các em:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A(1;1), B(2;5), C(4;7). Viết phuơng trình đường thẳng Δ đi qua A sao cho tổng : [2d(B,Δ)+3d(C,Δ)] lớn nhất. (Trong đó d(B,Δ),d(C,Δ) lần lượt là khoảng cách từ các điểm B,C đến đường thẳng Δ) .