Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
SA vuông góc với đáy và SA = a\sqrt 2.
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD.
- Chứng minh: SA vuông góc với mp (AHK).
- Tính thể tích khối chóp O.AHK
Giải:
\begin{array}{l} \bullet \left\{ \begin{array}{l} BC \bot BA\\ BC \bot SA\left( {SA \bot (ABCD)} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow BC \bot AH\left( {AH \subset (SAB)} \right)\\ Do\,AH \bot SB\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\left( 1 \right).\,\,\\ Do\,\left\{ \begin{array}{l} DC \bot DA\\ DC \bot SA\left( {SA \bot (ABCD)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAD} \right)\\ \Rightarrow DC \bot AK\left( {AK \subset (SAD)} \right)\& AK \bot SD\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow AK \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC\left( 2 \right)\\ \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)\left( {Do\,(1)\& (2)} \right) \end{array}.
\begin{array}{l} \bullet \,HK,SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow HK \cap SO = I = SO \cap \left( {AHK} \right) \Rightarrow \dfrac{{{V_{O.AHK}}}}{{{V_{S.AHK}}}} = \dfrac{{OI}}{{SI}}\\ Do\,\Delta SAB = \Delta SAD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AH = AK = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\ SB = AD = a\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }}{{SB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow HK//BD\\ \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{SI}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{{V_{O.AHK}}}}{{{V_{S.AHK}}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{O.AHK}} = \dfrac{{{V_{S.AHK}}}}{2}.\\ Do\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\\ {V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{O.AHK}} = \dfrac{1}{2}.{V_{S.AHK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{27}} \end{array}.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét