Sử dụng ĐỔI ĐIỂM + TỈ SỐ thể tích tính thể tích.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Học Học hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

SA vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 2.$
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD.
- Chứng minh: SA vuông góc với mp (AHK).
- Tính thể tích khối chóp O.AHK
Giải:
$\begin{array}{l}
 \bullet \left\{ \begin{array}{l}
BC \bot BA\\
BC \bot SA\left( {SA \bot (ABCD)} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\
 \Rightarrow BC \bot AH\left( {AH \subset (SAB)} \right)\\
Do\,AH \bot SB\left( {gt} \right)\\
 \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\left( 1 \right).\,\,\\
Do\,\left\{ \begin{array}{l}
DC \bot DA\\
DC \bot SA\left( {SA \bot (ABCD)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAD} \right)\\
 \Rightarrow DC \bot AK\left( {AK \subset (SAD)} \right)\& AK \bot SD\left( {gt} \right)\\
 \Rightarrow AK \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC\left( 2 \right)\\
 \Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)\left( {Do\,(1)\& (2)} \right)
\end{array}.$

$\begin{array}{l}
 \bullet \,HK,SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow HK \cap SO = I = SO \cap \left( {AHK} \right) \Rightarrow \dfrac{{{V_{O.AHK}}}}{{{V_{S.AHK}}}} = \dfrac{{OI}}{{SI}}\\
Do\,\Delta SAB = \Delta SAD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH = AK = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\
SB = AD = a\sqrt 3
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }}{{SB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow HK//BD\\
 \Rightarrow \dfrac{{OI}}{{SI}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{{V_{O.AHK}}}}{{{V_{S.AHK}}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{O.AHK}} = \dfrac{{{V_{S.AHK}}}}{2}.\\
Do\,\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SH}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SD}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\\
{V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow {V_{O.AHK}} = \dfrac{1}{2}.{V_{S.AHK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{9}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{27}}
\end{array}.$