Cho hàm số:$y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \frac{4}{3}{\left( {m + 1} \right)^3}\left( 1 \right)$, với m là tham số thực.
Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình: ${x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0.$
Giải:
Ta có ${{y}^{,}}={{x}^{2}}-2(m+1)x$
+ ${{y}^{,}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=2(m+1) \\
\end{align} \right.$
+ $y(0)=\frac{4}{3}{{(m+1)}^{3}}$ ;$y(2(m+1))=0$
Để hàm số có cực trị thì m $\ne -1$.
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là. A(0; $\frac{4}{3}{{(m+1)}^{3}}$) ,B( 2(m+1) ;0) ;
+ Gọi I là tâm đường tròn ,khi đó I(2;0) và R=1
+ A và B nằm về hai phía của đường tròn khi $\left( I{{A}^{2}}-{{R}^{2}} \right)\left( I{{B}^{2}}-{{R}^{2}} \right)$ < 0
IA=$\sqrt{4+\frac{16}{9}{{(m+1)}^{6}}}$, IB=$\sqrt{4{{m}^{2}}}$
$\left( I{{A}^{2}}-{{R}^{2}} \right)\left( I{{B}^{2}}-{{R}^{2}} \right)$ < 0 $\Leftrightarrow $( 3 +$\frac{16}{9}{{(m+1)}^{6}}$)($4{{m}^{2}}$-1) < 0 (*)
3+ $\frac{16}{9}{{(m+1)}^{6}}$ >0 $\forall m$ ;
(*) $\Leftrightarrow $4m$^{2}$-1< 0 $\Leftrightarrow $ $\left| m \right|$ < $\frac{1}{2}$
Vậy $\left\{ \begin{array}{l}
\left| m \right| < \frac{1}{2}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| m \right| < \frac{1}{2}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét