Cho hàm số:y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \frac{4}{3}{\left( {m + 1} \right)^3}\left( 1 \right), với m là tham số thực.
Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía ngoài) của đường tròn có phương trình: {x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0.
Giải:
Ta có {{y}^{,}}={{x}^{2}}-2(m+1)x
+ {{y}^{,}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2(m+1) \\ \end{align} \right.
+ y(0)=\frac{4}{3}{{(m+1)}^{3}} ;y(2(m+1))=0
Để hàm số có cực trị thì m \ne -1.
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là. A(0; \frac{4}{3}{{(m+1)}^{3}}) ,B( 2(m+1) ;0) ;
+ Gọi I là tâm đường tròn ,khi đó I(2;0) và R=1
+ A và B nằm về hai phía của đường tròn khi \left( I{{A}^{2}}-{{R}^{2}} \right)\left( I{{B}^{2}}-{{R}^{2}} \right) < 0
IA=\sqrt{4+\frac{16}{9}{{(m+1)}^{6}}}, IB=\sqrt{4{{m}^{2}}}
\left( I{{A}^{2}}-{{R}^{2}} \right)\left( I{{B}^{2}}-{{R}^{2}} \right) < 0 \Leftrightarrow ( 3 +\frac{16}{9}{{(m+1)}^{6}})(4{{m}^{2}}-1) < 0 (*)
3+ \frac{16}{9}{{(m+1)}^{6}} >0 \forall m ;
(*) \Leftrightarrow 4m^{2}-1< 0 \Leftrightarrow \left| m \right| < \frac{1}{2}
Vậy \left\{ \begin{array}{l} \left| m \right| < \frac{1}{2}\\ m \ne - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left| m \right| < \frac{1}{2}.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét