Bất đẳng thức có xét hàm.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nhật Quang hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
$Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
a + b + c = 3
\end{array} \right..\,\,Min\,P = \dfrac{a}{{\sqrt {ab} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {bc} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {ca} }} - 4abc = ?.$
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số ta có: $\sqrt {ab}  \le \dfrac{{a + b}}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {ab} }} \ge \dfrac{{2a}}{{a + b}} \Rightarrow P \ge 2\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}} \right) - 4abc.$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{\mkern 1mu} {{\left( {\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c } \right)}^2} = {{\left( {\sqrt {a + b} .\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {a + b} }} + \sqrt {b + c} .\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {c + a} .\dfrac{{\sqrt c }}{{\sqrt {c + a} }}} \right)}^2}}\\
{ \le \left( {a + b + b + c + c + a} \right)\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}} \right) = 2\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}} \right)}\\
{ = 6\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}}} \right) \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c } \right)}^2}}}{6}}\\
{ = \dfrac{{a + b + c + 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} } \right)}}{6} = \dfrac{{3 + 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} } \right)}}{6} \ge \dfrac{{3 + 6\sqrt[3]{{abc}}}}{6} = \sqrt[3]{{abc}} + \dfrac{1}{2}}\\
{ \Rightarrow P \ge  - 4abc + 2\sqrt[3]{{abc}} + 1 =  - 4{t^3} + 2t + 1 = f\left( t \right)\left( {0 < t = \sqrt[3]{{abc}} \le \dfrac{{a + b + c}}{3} = 1} \right)}\\
{ \Rightarrow f'\left( t \right) =  - 12{t^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \in \left( {0;1} \right]}\\
{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( 1 \right) =  - 1}\\
{f\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{9 + 2\sqrt 6 }}{9}}\\
{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = 1}
\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left( {0;1} \right]} f\left( t \right) =  - 1 = Min{\mkern 1mu} P \Leftrightarrow a = b = c = 1}
\end{array}\]