Lại xét hàm...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Lan Ốc hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
4\left( {2x\sqrt {2x - 1}  - {y^3} - 3{y^2}} \right) = 15y + 7 + \sqrt {2x - 1} \left( 1 \right)\\
\sqrt {\frac{{y\left( {y + 2} \right)}}{2}}  + \sqrt {6 - x}  = 2{x^2} + 3{y^2} - 15x + 4y + 8\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải:
\[\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8x\sqrt {2x - 1}  - \sqrt {2x - 1}  = 4{y^3} + 12{y^2} + 15y + 7\\
Coi\,4\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1}  + 3\sqrt {2x - 1}  = 4{\left( {y + a} \right)^3} + 3\left( {y + a} \right)\\
 \Rightarrow 4{\left( {y + a} \right)^3} + 3\left( {y + a} \right) = 4{y^3} + 12{y^2} + 15y + 7 \Leftrightarrow a = 1\\
 \Rightarrow 4{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 3\sqrt {2x - 1}  = 4{\left( {y + 1} \right)^3} + 3\left( {y + 1} \right)\\
Coi\,f\left( t \right) = 4{t^3} + 3t \Rightarrow f'\left( t \right) = 12{t^2} + 3 > 0,\forall t \Rightarrow f\left( {\sqrt {2x - 1} } \right) = f\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = y + 1\\
Hay\,\left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {2x - 1} \\
b = y + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow 4\left( {{a^3} - {b^3}} \right) + 3\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {4{a^2} + 4ab + 4{b^2} + 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow a = b\left( {Do\,4{a^2} + 4ab + 4{b^2} + 3 > 0} \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = y + 1\\
 \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {6 - x}  = 2{x^2} - 9x + 4 - 2\sqrt {2x - 1} \\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 4 - 2\sqrt {2x - 1}  - \sqrt {x - 1}  - \sqrt {6 - x}  = 0\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x - 5 + 6 - 2\sqrt {2x - 1}  + 2 - \sqrt {x - 1}  + 1 - \sqrt {6 - x}  = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {2x + 1} \right) - \frac{{4\left( {x - 5} \right)}}{{3 + \sqrt {2x - 1} }} - \frac{{x - 5}}{{2 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{{x - 5}}{{1 + \sqrt {6 - x} }} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left[ {2x + 1 - \frac{4}{{3 + \sqrt {2x - 1} }} - \frac{1}{{2 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{1 + \sqrt {6 - x} }}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)g\left( x \right) = 0\\
Khi\,1 \le x \le 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 \ge 3\\
 - \frac{4}{{3 + \sqrt {2x - 1} }} \ge  - 1\\
 - \frac{1}{{2 + \sqrt {x - 1} }} \ge  - \frac{1}{2}\\
\frac{1}{{1 + \sqrt {6 - x} }} \ge \frac{1}{{1 + \sqrt 5 }}
\end{array} \right. \Rightarrow g\left( x \right) \ge \frac{3}{2} - \frac{1}{{1 + \sqrt 5 }} > 0 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow y = 2
\end{array}\]