Một bài HHKG hay!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Một Mình hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD:$\left\{ \begin{array}{l}
SA = SB = SD = BD = 2a\\
AB = BC = a\\
\widehat {ABD} = 2\widehat {BDC};\,\widehat {CBD} = 2\widehat {ADB}
\end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = ?.$
Giải:
Đây là một bài hình học không gian rất hay! Phù hợp mức độ thi ĐH. Điều hay nhất từ bài toán này là việc đi tìm ẩn số của tứ giác ABCD có những đặc điểm như đề bài nêu. Người ra đề rất sáng tạo. Một bài toán lạ. Kết quả nhận được là một khối tứ giác rất đẹp và có nhiều khối hình nhỏ(đặc biệt) sinh ra từ tứ giác này.
- Điều tra tứ giác ABCD: Gọi M là trung điểm của BD.

$ \Rightarrow BM = \frac{{BD}}{2} = a = BA = BC.$
Khi đó: BAM và BCM là các tam giác cân ở B.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AM và CM.
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BE \bot AM\\
{B_2} = \widehat {MDC}\left( {sole} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot DC\left( 1 \right)\\
 \Rightarrow \Delta AEB = \Delta MPD \Rightarrow MP = AE = EM
\end{array}.$
Khi đó: M là trọng tâm tam giác ACD.(2)
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BF \bot CM\\
{B_3} = \widehat {MDA}\left( {sole} \right)

\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot DA\left( 3 \right).$
Khi đó: M là trực tâm tam giác ACD.(4)
Từ (2) và (4) ta thấy M sẽ là tâm tam giác đều ACD.
Khi đó: AC và BD vuông góc với nhâu tại trung điểm O của AC.
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow DO = \frac{3}{2}DM = \frac{3}{2}a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = DO \Rightarrow AC = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\\
BD = 2a
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}BD.AC = \frac{1}{2}.2a.\frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}.$

- Điều tra hình chóp S.ABCD:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
QA = QD\\
SA = SD
\end{array} \right. \Rightarrow SQ \bot AD.\,CM \bot DA \Rightarrow AD \bot \left( {SQC} \right)\\
 \Rightarrow SM \bot QC.\,\,Do\,\left\{ \begin{array}{l}
SB = SD\\
MB = MD
\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot BD \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\\
 \Rightarrow h = SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \\
 \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SM = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}}}{3}
\end{array}.$