Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, CD=2AB, điểm B(8;4). Phương trình cạnh AD: x-y+2=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC và điểm $M\left( {\frac{{82}}{{13}};\frac{6}{{13}}} \right)$ là trung điểm của HC. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD.
Giải:
Bài toán không khó khi chúng ta lần lượt đi tìm các yếu tố liên quan đến các đỉnh của hình thang dựa vào các yếu tố đã biết (nghĩa là không cần tìm "điều đặc biệt" thường thấy trong Hình Oxy). Nhưng cuối bài giải thầy có nêu một bài tập tương tự để chúng ta cùng suy nghĩ và phát hiện điều đặc biệt khi nó khó hơn.
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{AB}} = {\overrightarrow u _{AD}} = \left( {1;1} \right)\left( {AB \bot ACD} \right)\\
B\left( {8;4} \right) \in AB
\end{array} \right. \Rightarrow AB:x + y - 12 = 0\\
\Rightarrow A\left( {{x_A};{y_A}} \right) = AB \cap AD \in \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {y_A} - 12 = 0\\
{x_A} - {y_A} + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow A\left( {5;7} \right)\\
\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {8 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - 7} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \Rightarrow CD = 2AB = 6\sqrt 2 \\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{{17}}{{13}}; - \frac{{85}}{{13}}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{AC}} = \left( {5;1} \right)\\
A\left( {5;7} \right) \in AC
\end{array} \right. \Rightarrow AC:5x + y - 32 = 0\\
Coi\,C\left( {c;32 - 5c} \right) \Rightarrow d\left( {C \to AD} \right) = CD \Leftrightarrow \frac{{\left| {6c - 30} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c = 3\\
c = 7
\end{array} \right.\\
\bullet \,Khi\,c = 3 \Rightarrow C\left( {3;17} \right) \Rightarrow \Rightarrow BC:13x + 5y - 124 = 0\\
\Rightarrow BC \cap AD = I\left( {{x_I};{y_I}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
13{x_I} + 5{y_I} - 124 = 0\\
{x_I} - {y_I} + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\frac{{19}}{3};\frac{{25}}{3}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( { - \frac{5}{3};\frac{{13}}{3}} \right) \uparrow \downarrow \overrightarrow {CI} = \left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{26}}{3}} \right) \Rightarrow \overline \exists \,ABCD\\
\bullet \,Khi\,c = 7 \Rightarrow C\left( {7; - 3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{CD}} = {\overrightarrow n _{AB}} = \left( {1;1} \right)\\
C\left( {7; - 3} \right) \in CD
\end{array} \right.\\
\Rightarrow CD:x + y - 4 = 0 \Rightarrow D\left( {{x_D};{y_D}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
{x_D} + {y_D} - 4 = 0\\
{x_D} - {y_D} + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( {1;3} \right)
\end{array}.$
Bài toán mở rộng:
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, CD=2AB, điểm B(8;4). Phương trình cạnh AD: x-y+2=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC và điểm M là trung điểm của HC. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD. Biết phương trình của BM là: 23x+11y-228=0.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét