Bài HHKG khá khoai.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Khải Quang Trần hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB = 4a;\,AD = 4a\sqrt 3.$. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính góc giữa SC và (SDI)?
Giải: (Bài toán có thể sử dụng PP toạ độ Oxyz bằng việc tạo thêm trục Hy//AD//BC, nhưng để tiện cho lớp 11 và 12 cùng theo dõi thầy sẽ giải bằng PP thuần tuý như sau)

$\begin{array}{l}
Do\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\\
S{B^2} = A{B^2} - S{A^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
SH = a\sqrt 3 \\
AH = a\& BH = 3a
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
HI = \sqrt {H{B^2} + B{I^2}}  = a\sqrt {21} \\
DI = \sqrt {C{D^2} + C{I^2}}  = a\sqrt {28} \\
H{D^2} = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}}  = 7a
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow H{D^2} = H{I^2} + D{I^2} \Rightarrow HI \bot DI\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
SH \bot \left( {ABCD} \right)\\
DI \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot DI\left( 2 \right)\\
 \Rightarrow DI \bot \left( {SHI} \right)\left( {Do\,(1)\& (2)} \right)
\end{array}.$

Trong mp (SHI) dựng $HK \bot SI\left( {K \in SI} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
HK \bot DI\\
HK \bot SI
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SDI} \right)\left( 3 \right).$
Trong mp (ABCD), gọi giao điểm của DI và CH là K.
Trong mp (HKM), dựng $CL//HK\left( {L \in MK} \right)\left( 4 \right).$
$ \Rightarrow CL \bot \left( {SDI} \right)\left( {Do\,(3)\& (4)} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC,(SDI)} \right)} = \left( {\widehat {SC,SL}} \right) = \widehat {CSL}.$
Trong mp (ABCD) dựng $ME \bot CD\left( {E \in CD} \right).\,Coi\,ME = x\left( {x < 3a} \right).$\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ME}}{{HB}} = \frac{{CM}}{{CH}} \Leftrightarrow \frac{x}{{3a}} = \frac{{CM}}{{a\sqrt {57} }} \Rightarrow CM = \frac{{x\sqrt {57} }}{3} \Rightarrow HM = \left( {a - \frac{x}{3}} \right)\sqrt {57} \\
\frac{{ME}}{{CD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Leftrightarrow \frac{x}{{4a}} = \frac{{IM}}{{2a\sqrt 7 }} \Rightarrow IM = \frac{{x\sqrt 7 }}{2}
\end{array} \right.\\
H{M^2} = I{M^2} + I{H^2} \Leftrightarrow 57{\left( {a - \frac{x}{3}} \right)^2} = \frac{{7{x^2}}}{4} + 21{a^2} \Leftrightarrow \frac{{57{{\left( {3a - x} \right)}^2}}}{9} = \frac{{7{x^2}}}{4} + 21{a^2}\\
 \Leftrightarrow 165{x^2} - 1368ax + 1296{a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{a} = \frac{{12}}{{11}} \Rightarrow x = \frac{{12a}}{{11}} \Rightarrow \frac{{CM}}{{HM}} = \frac{{\frac{{4a\sqrt {57} }}{{11}}}}{{\frac{{7a\sqrt {57} }}{{11}}}} = \frac{4}{7}\\
\frac{x}{a} = \frac{{36}}{5}\left( {x = \frac{{36a}}{5} > 3a} \right)
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{HK}}{{CL}} = \frac{{CM}}{{HM}} = \frac{4}{7}\\
\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{I{H^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {42} }}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow CL = \frac{4}{7}.\frac{{a\sqrt {42} }}{4} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7} \Rightarrow \sin \widehat {CSL} = \frac{{CL}}{{SC}} = \frac{1}{{\sqrt {70} }}
\end{array}\]