Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4a;\,AD = 4a\sqrt 3.. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính góc giữa SC và (SDI)?
Giải: (Bài toán có thể sử dụng PP toạ độ Oxyz bằng việc tạo thêm trục Hy//AD//BC, nhưng để tiện cho lớp 11 và 12 cùng theo dõi thầy sẽ giải bằng PP thuần tuý như sau)
Trong mp (SHI) dựng HK \bot SI\left( {K \in SI} \right)
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} HK \bot DI\\ HK \bot SI \end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SDI} \right)\left( 3 \right).
Trong mp (ABCD), gọi giao điểm của DI và CH là K.
Trong mp (HKM), dựng CL//HK\left( {L \in MK} \right)\left( 4 \right).
\Rightarrow CL \bot \left( {SDI} \right)\left( {Do\,(3)\& (4)} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC,(SDI)} \right)} = \left( {\widehat {SC,SL}} \right) = \widehat {CSL}.
Trong mp (ABCD) dựng ME \bot CD\left( {E \in CD} \right).\,Coi\,ME = x\left( {x < 3a} \right).\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ME}}{{HB}} = \frac{{CM}}{{CH}} \Leftrightarrow \frac{x}{{3a}} = \frac{{CM}}{{a\sqrt {57} }} \Rightarrow CM = \frac{{x\sqrt {57} }}{3} \Rightarrow HM = \left( {a - \frac{x}{3}} \right)\sqrt {57} \\ \frac{{ME}}{{CD}} = \frac{{IM}}{{ID}} \Leftrightarrow \frac{x}{{4a}} = \frac{{IM}}{{2a\sqrt 7 }} \Rightarrow IM = \frac{{x\sqrt 7 }}{2} \end{array} \right.\\ H{M^2} = I{M^2} + I{H^2} \Leftrightarrow 57{\left( {a - \frac{x}{3}} \right)^2} = \frac{{7{x^2}}}{4} + 21{a^2} \Leftrightarrow \frac{{57{{\left( {3a - x} \right)}^2}}}{9} = \frac{{7{x^2}}}{4} + 21{a^2}\\ \Leftrightarrow 165{x^2} - 1368ax + 1296{a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{a} = \frac{{12}}{{11}} \Rightarrow x = \frac{{12a}}{{11}} \Rightarrow \frac{{CM}}{{HM}} = \frac{{\frac{{4a\sqrt {57} }}{{11}}}}{{\frac{{7a\sqrt {57} }}{{11}}}} = \frac{4}{7}\\ \frac{x}{a} = \frac{{36}}{5}\left( {x = \frac{{36a}}{5} > 3a} \right) \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{HK}}{{CL}} = \frac{{CM}}{{HM}} = \frac{4}{7}\\ \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{I{H^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {42} }}{4} \end{array} \right. \Rightarrow CL = \frac{4}{7}.\frac{{a\sqrt {42} }}{4} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7} \Rightarrow \sin \widehat {CSL} = \frac{{CL}}{{SC}} = \frac{1}{{\sqrt {70} }} \end{array}
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét