Cho chóp SABCD đáy là hình bình hành,AB = 2a,\,\,BC = a\sqrt 2 ,\,\,BD = a\sqrt 6.. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, SG=2a. Tính {V_{S.ABCD}}{\rm{ }}\& {\rm{ }}d\left( {A \to \left( {SBD} \right)} \right).
Giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC = a\sqrt 2 \Rightarrow B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} \Rightarrow ABCD là hình chữ nhật.
\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SG.{S_{ABCD}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l} AG \equiv AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\ \frac{{AO}}{{GO}} = 3 \end{array} \right.
\Rightarrow d\left( {A \to (SBD)} \right) = 3d\left( {G \to (SBD)} \right).
Trong ABCD, dựng GH \bot BD\left( {H \in BD} \right).
Trong (SHG), dựng GK \bot SH\left( {K \in SH} \right)\left( 1 \right).
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BD \bot GH\\ BD \bot SG \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHG} \right) \Rightarrow BD \bot GK\left( 2 \right).
Từ (1) và (2) ta có:GK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow GK = d\left( {G \to (SBD)} \right).
Do tam giác SGH vuông tại G nên: \frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{1}{{G{H^2}}} + \frac{1}{{G{S^2}}}.
Do \frac{1}{2}GH.BD = {S_{\Delta BGD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.2a.2a\sqrt 2 \Rightarrow GH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{{27}}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} \Rightarrow GK = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}.
Vậy d\left( {A \to (SBD)} \right) = 3\frac{{a\sqrt 7 }}{7} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét