ĐỔI ĐIỂM tính khoảng cách...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ine LMathino hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho chóp SABCD đáy là hình bình hành,$AB = 2a,\,\,BC = a\sqrt 2 ,\,\,BD = a\sqrt 6.$. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, SG=2a. Tính ${V_{S.ABCD}}{\rm{ }}\& {\rm{ }}d\left( {A \to \left( {SBD} \right)} \right).$
Giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên $AD = BC = a\sqrt 2  \Rightarrow B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} \Rightarrow$ ABCD là hình chữ nhật.

$\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SG.{S_{ABCD}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 2 }}{3}.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AG \equiv AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\
\frac{{AO}}{{GO}} = 3
\end{array} \right.$
$\Rightarrow d\left( {A \to (SBD)} \right) = 3d\left( {G \to (SBD)} \right).$
Trong ABCD, dựng $GH \bot BD\left( {H \in BD} \right).$
Trong (SHG), dựng $GK \bot SH\left( {K \in SH} \right)\left( 1 \right).$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD \bot GH\\
BD \bot SG
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHG} \right) \Rightarrow BD \bot GK\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) ta có:$GK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow GK = d\left( {G \to (SBD)} \right).$
Do tam giác SGH vuông tại G nên: $\frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{1}{{G{H^2}}} + \frac{1}{{G{S^2}}}.$
Do $\frac{1}{2}GH.BD = {S_{\Delta BGD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.2a.2a\sqrt 2  \Rightarrow GH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{{27}}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} \Rightarrow GK = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}.$

Vậy $d\left( {A \to (SBD)} \right) = 3\frac{{a\sqrt 7 }}{7} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7}.$