Bất Đẳng Thức dồn biến kiểu TỔNG-TÍCH.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Vô Vị hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
x,y \ne 0\\
\left( {x + y} \right)xy = {x^2} + {y^2} - xy
\end{array} \right..\,\,Max\,A = \dfrac{1}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{y^3}}} = ?\]Giải:

\[\begin{array}{l}
Coi\,\left\{ \begin{array}{l}
S = x + y\\
P = xy
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} \ge 4P\left( 1 \right)\\
PS = {S^2} - 3P \Leftrightarrow P\left( {S + 3} \right) = {S^2} \Leftrightarrow P = \dfrac{{{S^2}}}{{S + 3}}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\,\\
 \Rightarrow {S^2} \ge \dfrac{{4{S^2}}}{{S + 3}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{S + 3}} \le 1 \Leftrightarrow S + 3 \ge 1 \Leftrightarrow S \ge 1\\
A = \dfrac{{{x^3} + {y^3}}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = \dfrac{{S\left( {{S^2} - 3P} \right)}}{{{P^3}}} = \dfrac{{S.PS}}{{{P^2}}} = {\left( {\dfrac{S}{P}} \right)^2}\\
 = {\left( {\dfrac{{S\left( {S + 3} \right)}}{{{S^2}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{S^2} + 3S}}{{{S^2}}}} \right)^2} = {\left( {1 + \dfrac{3}{S}} \right)^2}.\,Do\,S \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{S} \le 3 \Rightarrow Max\,A = {\left( {1 + 3} \right)^2} = 16\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = \dfrac{1}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow x,y \in \left\{ {{x_0}:x_0^2 - S\,{x_0} + P = 0} \right\} = \left\{ {{x_0}:x_0^2 - {x_0} + \dfrac{1}{4} = 0} \right\} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}.
\end{array}\]