LƯỢNG GIÁC HOÁ trong BĐT.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Trần Phạm Tuyên hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học) $$\left\{ \begin{array}{l} x,y,z > 0\\ x + y + z = 1 \end{array} \right..\,CMR:\,\dfrac{x}{{x + yz}} + \dfrac{y}{{y + zx}} + \dfrac{z}{{z + xy}} \le \dfrac{9}{4}\left( * \right)$$ Giải:
Khi sử dụng lượng giác hoá trong bất đẳng thức, các em phải nhớ cho thầy 2 công thức rất quan trọng trong hệ thức lượng liên quan đến tam giác như sau (chứng minh chúng rất dễ thôi).
$\left[ \begin{array}{l} \tan \,A + \tan \,B + \tan \,C = \tan \,A.\tan B.\tan C\left( i \right)\\ \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{B}{2}.\tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{A}{2} = 1\left( {ii} \right) \end{array} \right.$
Thầy sẽ đi chứng minh (ii) như sau, vì bài này sẽ sử dụng đến (ii):

$\begin{array}{l} Do\,\dfrac{{A + B}}{2} + \dfrac{C}{2} = \dfrac{{A + B + C}}{2} = {90^0} \Rightarrow \cot \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{{\tan \dfrac{C}{2}}} = \tan \dfrac{{A + B}}{2} = \tan \left( {\dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{2}} \right)\,\\  \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan \dfrac{C}{2}}} = \dfrac{{\tan \dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{B}{2}}}{{1 - \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{B}{2}}} \Leftrightarrow \left( {\tan \dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{B}{2}} \right)\tan \dfrac{C}{2} = 1 - \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{B}{2}\\  \Leftrightarrow \tan \dfrac{B}{2}.\tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{A}{2} = 1 - \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{B}{2}\\  \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{B}{2}.\tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{A}{2} = 1\, \end{array}.$
Tư duy đến cách đổi biến:  Cái này khá quan trọng trong bài này, thầy cũng khá lúng túng nhưng may quá, kết quả nhận được rất đẹp.
$\begin{array}{l} V{T_{\left( * \right)}} = \dfrac{x}{{x + yz}} + \dfrac{y}{{y + zx}} + \dfrac{z}{{z + xy}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{yz}}{x}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{zx}}{y}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{xy}}{z}}}\\ Do\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{yz}}{x}.\dfrac{{zx}}{y} = {z^2} \Leftrightarrow z = \sqrt {\dfrac{{yz}}{x}} .\sqrt {\dfrac{{zx}}{y}} \\ \dfrac{{zx}}{y}.\dfrac{{xy}}{z} = {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\dfrac{{zx}}{y}} .\sqrt {\dfrac{{xy}}{z}} \\ \,\dfrac{{xy}}{z}.\dfrac{{yz}}{x} = {y^2} \Leftrightarrow y = \,\sqrt {\dfrac{{xy}}{z}} .\sqrt {\dfrac{{yz}}{x}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {\dfrac{{zx}}{y}} .\sqrt {\dfrac{{xy}}{z}}  + \sqrt {\dfrac{{xy}}{z}} .\sqrt {\dfrac{{yz}}{x}}  + \sqrt {\dfrac{{yz}}{x}} .\sqrt {\dfrac{{zx}}{y}}  = 1 \end{array}.$
Đến đây ta đặt:$\,\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{yz}}{z}}  = tan\dfrac{A}{2}\\ \sqrt {\dfrac{{zx}}{y}}  = \tan \dfrac{B}{2}\\ \sqrt {\dfrac{{xy}}{z}}  = \tan \dfrac{C}{2} \end{array} \right. \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} = \dfrac{1}{{1 + ta{n^2}\dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{1 + ta{n^2}\dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{1 + ta{n^2}\dfrac{C}{2}}}.$
$= co{s^2}\dfrac{A}{2} + co{s^2}\dfrac{B}{2} + co{s^2}\dfrac{C}{2} = \dfrac{{cos\,A + 1}}{2} + \dfrac{{cos\,B + 1}}{2} + \dfrac{{cos\,C + 1}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {cos\,A + cos\,B + cos\,C} \right) + \dfrac{3}{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức đơn giản và cũng được chứng minh luôn sau đây:
$cos\,x + \cos y = 2cos\dfrac{{x + y}}{2}cos\dfrac{{x - y}}{2} \le 2cos\dfrac{{x + y}}{2}.$ Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} cos\,A + cos\,B \le 2cos\dfrac{{A + B}}{2}\\ cos\,C + cos\,{60^0} \le 2cos\dfrac{{C + {{60}^0}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow cos\,A + cos\,B + cos\,C + cos\,{60^0} \le 2\left( {cos\dfrac{{A + B}}{2} + cos\dfrac{{C + {{60}^0}}}{2}} \right)\\  \le 2.2cos\dfrac{{\dfrac{{A + B}}{2} + \dfrac{{C + {{60}^0}}}{2}}}{2} = 4cos\dfrac{{A + B + C + {{60}^0}}}{4} = 4cos\,{60^0} \Rightarrow cos\,A + cos\,B + cos\,C \le 3cos\,{60^0} = \dfrac{3}{2}\\  \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} = V{P_{\left( * \right)}} \Rightarrow DPCM \end{array}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$A = B = C = {60^0} \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{yz}}{z}}  = tan\dfrac{{{{60}^0}}}{2} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \sqrt {\dfrac{{zx}}{y}}  = \tan \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \sqrt {\dfrac{{xy}}{z}}  = \tan \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {\dfrac{{zx}}{y}} .\sqrt {\dfrac{{xy}}{z}}  = \dfrac{1}{3}\\ y = \,\sqrt {\dfrac{{xy}}{z}} .\sqrt {\dfrac{{yz}}{x}}  = \dfrac{1}{3}\\ z = \sqrt {\dfrac{{yz}}{x}} .\sqrt {\dfrac{{zx}}{y}}  = \dfrac{1}{3} \end{array} \right.$