ĐH khối B - 2003.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Dld Ngáo Ộp hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh bằng a, góc BAD=60. Gọi M là trung điểm AA' và N là trung điểm cạnh CC'.
Chứng minh: 4 điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
Giải:

Gọi P là trung điểm của BB' ta có:
$\ CN// = B'P\left( { = \frac{{BB'}}{2}} \right) \Rightarrow CNB'P$ là hình bình hành.
$\  \Rightarrow CP// = B'N\left( 1 \right).$
Mặt khác, $\ MP// = DC \Rightarrow MPCD$ là hình bình hành.
$\  \Rightarrow CP// = DM\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta được:
$\ DM// = B'N \Rightarrow B',M,D,N$ đồng phẳng. $$\left\{ \begin{array}{l} B'N = \sqrt {B'C{'^2} + C'{N^2}} \\ B'M = \sqrt {A'B{'^2} + A'{M^2}} \\ B'C' = A'B';\,A'M = C'N = \frac{{AA'}}{2} \end{array} \right.$$ $\  \Rightarrow B'N = B'M \Rightarrow$ Tứ giác BNB'M là hình thoi.

Để BNB'M là hình vuông thì MN=B'D. $$\left\{ \begin{array}{l} MN = AC = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \\ B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}}  = \sqrt {A'{A^2} + B{D^2}} \end{array} \right. \Rightarrow {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = A'{A^2} + {a^2} \Leftrightarrow A'A = a\sqrt 2$$