Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Đỗ Bá Hải hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. BM là đường trung tuyến. Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại E(2;1). Biết trọng tâm của tam giác ABC là G(2;2). Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm A có hoành độ dương.
Giải:

Gọi N là trung điểm của cạnh huyền BC ta có:$\ \left\{ \begin{array}{l} AN \bot BC\\ BH \bot AE\\ AN \cap BH = G \end{array} \right. \Rightarrow$ G là trực tâm tam giác ABE.

$\  \Rightarrow$GE vuông góc với AB (GE//AC)$\  \Rightarrow$Tam giác GEN vuông cân tại N hay N nằm trên đường trung trực MN của GE. $$\begin{array}{*{20}{l}} {MN:y = \frac{3}{2} \Rightarrow N\left( {n;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow NG = \frac{{GE}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {n - 2} \right)}^2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {N\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {GN}  = \left( { - 1; - 1} \right) = \overrightarrow {AG}  = \left( {2 - {x_A};2 - {y_A}} \right) \Leftrightarrow A\left( {3;3} \right)}\\ {N\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {GN}  = \left( {1; - 1} \right) = \overrightarrow {AG}  = \left( {2 - {x_A};2 - {y_A}} \right) \Leftrightarrow A\left( {1;3} \right)} \end{array}} \right.}\\ {GE//AC \Rightarrow \frac{{NG}}{{NA}} = \frac{{GE}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = 3GE = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {A,AC} \right):{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 9}\\ {\left( {A,AC} \right):{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 9} \end{array}} \right.}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {B,C:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 9}\\ {x + y - 3 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {B\left( {0;3} \right)}\\ {C\left( {3;0} \right)} \end{array}} \right.}\\ {B,C:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 9}\\ {x - y - 1 = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {C\left( {1;0} \right)}\\ {B\left( {4;3} \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( {3;3} \right),B\left( {0;3} \right),C\left( {3;0} \right)\\ A\left( {1;3} \right),B\left( {4;3} \right),\,C\left( {1;0} \right) \end{array} \right.} \right.} \end{array}$$