Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a, b, c>1.
CMR: $\ \left( {{{\log }_b}a + {{\log }_c}a - 1} \right)\left( {{{\log }_c}b + {{\log }_a}b - 1} \right)\left( {{{\log }_a}c + {{\log }_b}c - 1} \right) \le 1\left( * \right).$
Giải:
Đặt $\ x = {\log _a}b;\,y = {\log _b}c;z = {\log _c}a \Rightarrow x,y,z > 0;\,xyz = \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}.{\log _b}c = {\log _c}b.{\log _b}c = 1.$
Khi đó: $\ V{T_{\left( * \right)}} = \left( {x + \frac{1}{y} - 1} \right)\left( {y + \frac{1}{z} - 1} \right)\left( {z + \frac{1}{x} - 1} \right).$
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {x + \frac{1}{y} - 1} \right)\left( {y + \frac{1}{z} - 1} \right) = xy + \frac{x}{y} - x + 1 + \frac{1}{{yz}} - \frac{1}{y} - y - \frac{1}{z} + 1\\
= \left( {xy - \frac{1}{z}} \right) + \left( {\frac{1}{{yz}} - x} \right) + 2 + \frac{x}{y} - \left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 0 + 0 + 2 + \frac{x}{y} - \left( {y + \frac{1}{y}} \right) \le \frac{x}{y}
\end{array}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {x + \frac{1}{y} - 1} \right)\left( {y + \frac{1}{z} - 1} \right) = xy + \frac{x}{y} - x + 1 + \frac{1}{{yz}} - \frac{1}{y} - y - \frac{1}{z} + 1\\
= \left( {xy - \frac{1}{z}} \right) + \left( {\frac{1}{{yz}} - x} \right) + 2 + \frac{x}{y} - \left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 0 + 0 + 2 + \frac{x}{y} - \left( {y + \frac{1}{y}} \right) \le \frac{x}{y}
\end{array}\]
Tương tự ta cũng có:
\[\left( {y + \frac{1}{z} - 1} \right)\left( {z + \frac{1}{x} - 1} \right) \le \frac{y}{z};\,\left( {z + \frac{1}{x} - 1} \right)\left( {x + \frac{1}{y} - 1} \right) \le \frac{z}{x} \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} \le \frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x} = 1 = V{P_{\left( * \right)}}\] Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét