Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nhật Quang hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3,3) và AC=2BD .

Hai điểm M(2,4/3 ) , N(3,13/3) lần lượt thuộc AB , CD.
Viết phương trình BD, biết B có hoành độ nhỏ hơn 3
Giải:
Gọi giao điểm của AB và NI là N'.

Ta thấy ngay N' là điểm đối xứng với N qua I (ANCN' là hình bình hành).

Khi đó ta có: N'(3;5/3).

- Nếu BD có dạng x=a => x=3 (không thoả mãn vì B có hoành độ < 3).

- Vậy BD có dạng: y=k(x-3)+3.

Ta có: $\ \overrightarrow {MN'}  = \left( {1;\frac{1}{3}} \right) \Rightarrow MN':x - 3y + 2 = 0.$

Do$\ 2 = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AI}}{{BI}} = \tan \,\widehat {ABI} = \tan \left( {AB,BD} \right) = \tan \left( {MN',BD} \right) = \left| {\frac{{\frac{1}{3} - k}}{{1 + \frac{k}{3}}}} \right|.$
(Tính chất này ta áp dụng ở ĐL NÀY)

• Khi k = - 1, BD: y = - x +6  => B(4;2) (Không thoả mãn).
• Khi k = -7, BD: y = 7x - 18  => B(14/5; 8/5) (Thoả mãn).

Vậy PT của BD cần lập là: 7x - y - 18 = 0.