Một suy nghĩ khác về bài toán TƯƠNG GIAO.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Minh Châu hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hàm số y=x³ -3x +2(C). Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho điểm A có hoành độ bằng 2 và BC=2√2.
Giải:
Giả sử không tồn tại HSG k, khi đó d: x=a. Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của PT:
\[\begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 2 = a.\,Do\,{x_A} = 2 \Leftrightarrow a = 4\\
 \Rightarrow {x^3} - 3x + 2 = 4 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( {2;4} \right)\\
B\left( {1;0} \right)\\
C\left( { - 1;4} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BC = 2\sqrt 5  \ne 2\sqrt 2  \Rightarrow \exists k \Rightarrow d:y = kx + b
\end{array}\]
Khi đó toạ độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của HPT:\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 2 = kx + b\\
y = kx + b
\end{array} \right..\,Do\,{x_A} = 2 \Leftrightarrow 2k + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - 2k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - k + 1} \right) = 0\\
y = kx + 4 - 2k
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A\left( {2;4} \right)\\
B,C \in \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = {x^2} + 2x - k + 1 = 0\\
y = kx + 4 - 2k
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \exists B \ne C \Leftrightarrow {{\Delta '}_g} = 1 + k - 1 > 0 \Leftrightarrow k > 0\left( 1 \right)\\
Coi\,\left\{ \begin{array}{l}
B\left( {{x_1};k{x_1} + 4 - 2k} \right)\\
C\left( {{x_2};k{x_2} + 4 - 2k} \right)\\
g\left( {{x_1}} \right) = g\left( {{x_2}} \right) = 0
\end{array} \right. \Rightarrow 8 = B{C^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{k^2} + 1} \right) = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\left( {{k^2} + 1} \right)\\
\mathop  \Leftrightarrow \limits_{Viet} 4k\left( {{k^2} + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {k^3} + k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\left( {{k^2} + k + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow k = 1\left( {t/m} \right)
\end{array}\]Vậy PT đường thẳng d cần lập là: y = x + 2.