Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2a, DC=a. SA=a và SA vuông góc với (ABCD). M là một điểm bất kì trên AC (M khác A và C), đặt AM=x. Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M, vuông góc AC, tính diện tích thiết diện
Sở dĩ thầy muốn nói hình không gian có thể ra đề khó như hình Oxy là bởi vì chúng ta phải trải qua công đoạn xử lý trong một mặt phẳng (quy về phẳng). Ở đây, chúng ta phải biết phát hiện các yếu tố đặc biệt của bài toán.
Ở đây, chúng ta đang nói đến hình thang vuông, loại hình này chúng ta thường thấy khi chúng ta bổ sung thêm một số đường thì nó sẽ được một hình khá đẹp (hình vuông). Chính điều này khiến chúng ta liên tưởng đến một vài bài toán hình Oxy và HHKG (ĐH Khối A - 2010). Đó là việc phát hiện yếu tố AC vuông góc với BE(E là trung điểm của AD).
Giải: Gọi E là trung điểm của AD. Ta thấy tam giác ADC = tam giác BAE vì:$\ \left\{ \begin{array}{l}
AD = AB = 2a\\
DC = AE = a\\
\widehat A = \widehat D = {90^0}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DAC} = \widehat {ABE}\\
\widehat {DAC} + \widehat {BAC} = {90^0}
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow \widehat {ABE} + \widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow AC \bot BE.$
Trong (ABCD), dựng đường thẳng qua M vuông góc với AC tại M cắt AD, AB ở P và Q.
Trong (SAC), dựng đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt SC tại N.
Trong (SAD) và (SAB) lần lượt dựng PR//SA//QT (R và T lần lượt thuộc SD và SB). Khi đó thiết diện cần dựng là hình ngũ giác PQTNR. (QT//PR//MN//SA)
$\ \Rightarrow {S_{PQTNR}} = {S_{PMNR}} + {S_{QTRM}} = \frac{{\left( {PR + MN} \right)PM}}{2} + \frac{{\left( {TQ + MN} \right)QM}}{2}.$
Xét trong ABCD ta thấy PQ//BE nên:$\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AP}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AQ}}{{AB}}\\
\frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AO = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AP}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}}.$
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{4a}}\\
\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{PR}}{{SA}} = \frac{{PD}}{{AD}} = 1 - \frac{{x\sqrt 5 }}{{4a}} = \frac{{4a - x\sqrt 5 }}{{4a}} \Rightarrow PR = a - \frac{{x\sqrt 5 }}{4}\\
\frac{{QT}}{{SA}} = \frac{{QB}}{{AB}} = 1 - \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}} = \frac{{2a - x\sqrt 5 }}{{2a}} \Rightarrow QT = a - \frac{{x\sqrt 5 }}{2}\\
\frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{{AC - AM}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 5 - x}}{{a\sqrt 5 }} \Rightarrow MN = a - \frac{{x\sqrt 5 }}{5}
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{MQ}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}}\\
OB = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MQ = \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}}.\frac{{4a}}{{\sqrt 5 }} = 2x\\
MP = PQ - MQ\\
\frac{{PQ}}{{BE}} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}} \Rightarrow PQ = \frac{{x\sqrt 5 }}{{2a}}.a\sqrt 5 = \frac{{5x}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow MP = \frac{{5x}}{2} - 2x = \frac{x}{2}.$
$\ \Rightarrow {V_{PQTNR}} = \frac{{\left( {a - \frac{{x\sqrt 5 }}{4} + a - \frac{{x\sqrt 5 }}{5}} \right)\frac{x}{2}}}{2} + \frac{{\left( {a - \frac{{x\sqrt 5 }}{2} + a - \frac{{x\sqrt 5 }}{5}} \right)2x}}{2} = \frac{{x\left( {40a - 13x\sqrt 5 } \right)}}{{16}}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét