Khi tính V, đánh giá đáy phải chuẩn.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Christopher Chabestan hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
Giải:

Do $\ \widehat {\left( {AA',\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'AH} = {60^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AH = a\\ A'H = a\sqrt 3 \end{array} \right.$
Gọi M là trung điểm của BC. Do AH=a=AB=AC nên H không thể nằm bên trong tam giác ABC (Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền phải lớn nhất).
Do vậy H phải nằm về phía đối của tia AM.
Do AH=AB=AC nên A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà AB, AC lần lượt vuông góc với HC và HB nên O là tâm của tam giác đều HBC.
Khi đó nếu cạnh của HBC là x thì:
$\ a = AB = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\frac{2}{3} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 .$
Khi đó:
$\ \begin{array}{l} \:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {h = A'H = a\sqrt 3 }\\ {B = {S_{ABC}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^3}}}{{4R}} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{4.a}} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}} \end{array}} \right.\\  \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = Bh = \frac{{9{a^3}}}{4}. \end{array}.$ $$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3{a^3}}}{4} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = {V_{A'.ABC}} = {V_{A.A'BC}}\frac{1}{3}.d\left( {A \to \left( {A'BC} \right)} \right).{S_{A'BC}}\\ A'B = A'C = \sqrt {A'{H^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\sqrt 6 \& BC = a\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{{3{a^2}\sqrt 7 }}{4}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow d\left( {A \to \left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3\frac{{3{a^3}}}{4}}}{{\frac{{3{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3a\sqrt 7 }}{7} \end{array}$$