Xác định nghiệm hình Oxy hợp lý.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn The lo hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm O. Điểm K(0;2) thuộc đoạn OA. M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và cùng nằm trên đường thẳng d: x - 1 = 0. Q là giao điểm của KM và BC. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông, biết điểm H(4;8) thuộc NQ.
Giải:
Ta thấy tam giác AMO vuông cân tại M nên AC tạo với MN một góc 45 độ.

Khi đó phương trình của AC là: y = - x + 2 hoặc y = x + 2.
- Xét AC: y = - x + 2. Khi đó O(1;1).
Ta gọi M(1;m) khi đó: $$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} N\left( {1;2 - m} \right) \Rightarrow C\left( {3;2 - m} \right) \Rightarrow D\left( {2 - m;2 - m} \right)\\ A\left( {2 - m;m} \right) \Rightarrow B\left( {m;m} \right) \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MK:\left( {m - 2} \right)x - y + 2 = 0\\ BC:x = m \end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {m;{m^2} - 2m + 2} \right)\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HN}  = \left( { - 3; - m - 6} \right)\\ \overrightarrow {HQ}  = \left( {m - 4;{m^2} - 2m - 6} \right) \end{array} \right.\\ \overrightarrow {HN}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {HQ}  \Leftrightarrow \frac{{m - 4}}{3} = \frac{{{m^2} - 2m - 6}}{{m + 6}}\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right) \equiv O\left( L \right)\\ m = 3 \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3; - 1} \right),D\left( { - 1; - 1} \right) \end{array} \right. \end{array}$$

- Xét AC: y =  x + 2. Khi đó O(1;3). Ta gọi M(1;n) khi đó: $\ \left\{ \begin{array}{l} N\left( {1;6 - n} \right) \Rightarrow C\left( {4 - n;6 - n} \right) \Rightarrow D\left( {n - 2;6 - n} \right)\\ A\left( {n - 2;n} \right) \Rightarrow B\left( {4 - n;n} \right) \end{array} \right.$ $$\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {MK:\left( {n - 2} \right)x - y + 2 = 0}\\ {BC:x = 4 - n} \end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {4 - n; - {n^2} + 6n - 6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {HN}  = \left( { - 3; - n - 2} \right)}\\ {\overrightarrow {HQ}  = \left( { - n; - {n^2} + 6n - 14} \right)} \end{array}} \right.}\\ \begin{array}{l} \overrightarrow {HN}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {HQ}  \Leftrightarrow \frac{n}{3} = \frac{{{n^2} - 6n + 14}}{{n + 2}}\\  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 3 \Rightarrow A\left( {1;3} \right) \equiv O\left( L \right)}\\ {n = 7 \Rightarrow A\left( {5;7} \right),B\left( { - 3;7} \right),C\left( { - 3; - 1} \right),D\left( {5; - 1} \right) \Rightarrow 4\sqrt 2  = AO < AK = 5\sqrt 2 \left( L \right)} \end{array}} \right. \end{array} \end{array}$$ Vậy bài toán có một nghiệm hình: $\ A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3; - 1} \right),D\left( { - 1; - 1} \right).$