Tập chứng minh bất đẳng thức.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Phương Huỳnh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
a + b + c = 3
\end{array} \right..\,\,\,\,\,\,CMR:\frac{{{a^2}b}}{{2a + b}} + \frac{{{b^2}c}}{{2b + c}} + \frac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le 1.$
Giải:
\[\frac{{{a^2}b}}{{2a + b}} = \frac{a}{{\frac{{2a + b}}{{ab}}}} = \frac{a}{{\frac{2}{b} + \frac{1}{a}}} = \frac{a}{{\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a}}}\]Áp dụng BĐT quen thuộc:$\ \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{{x + y + z}}$
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{{a^2}b}}{{2a + b}} \le \frac{a}{{\frac{9}{{b + b + a}}}} = \frac{{a\left( {a + 2b} \right)}}{9};\,\frac{{{b^2}c}}{{2b + c}} \le \frac{b}{{\frac{9}{{c + c + b}}}} \le \frac{{b\left( {b + 2c} \right)}}{9}\,;\,\frac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le \frac{c}{{\frac{9}{{a + a + c}}}} \le \frac{{c\left( {2a + c} \right)}}{9}\\
 \Rightarrow \frac{{{a^2}b}}{{2a + b}} + \frac{{{b^2}c}}{{2b + c}} + \frac{{{c^2}a}}{{2c + a}} \le \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{9} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{9} = 1
\end{array}\]Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.