Cho hình lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng 2. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm CD. Mặt phẳng (A'MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, tính thể tích phần chứa đỉnh C' biết góc giữa mặt phẳng (A'MN) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ.
Giải:
Trong (ABCD) gọi giao điểm của MN với AB, AD kéo dài lân lượt là E, F. Gọi $\ \left\{ \begin{array}{l}
A'E \cap BB' = Q\\
A'F \cap DD' = P
\end{array} \right..$
Khi đó thiết diện với hình hộp cắt bởi (A'MN) là ngũ giác MNPA'Q.
Gọi $\ MN \cap AC = I.$, ta thấy MN là đường trung bình của tam giác BCD nên:$\ \left\{ \begin{array}{l}
MN//BD\\
AC \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot AC\left( 1 \right).$
$\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//BD}\\
{AC \bot BD}
\end{array}} \right. \Rightarrow MN \bot AC}\\
{AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN \bot AA'}
\end{array}} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {AA'I} \right) \Rightarrow MN \bot A'I \Rightarrow \widehat {\left( {ABCD,A'MN} \right)} = \widehat {A'IA} = {45^0}.$
$\ \Rightarrow AA' = AI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.$\[\left\{ \begin{array}{l}
{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V_{C'}} + {V_A} = \:6\sqrt 2 .\\
{V_A} = {V_{A'.AEF}} - {V_{Q.BME}} - {V_{P.DNF}}\\
{V_{A'.AEF}} = \frac{1}{3}AA'.{S_{AEF}} = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{9}{4} = \frac{{9\sqrt 2 }}{8}\\
{V_{Q.BME}} = {V_{P.DNF}} = \frac{1}{3}BQ.{S_{BME}} = \frac{1}{3}.\frac{{SA}}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}
\end{array} \right. \Rightarrow {V_{C'}} = \frac{{113\sqrt 2 }}{{24}}\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét