LĂNG TRỤ TAM GIÁC ĐỀU = Lăng trụ ĐỨNG + 2 đáy là TAM GIÁC ĐỀU.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Jin Dodi Nho hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C',cạnh AB=a. Góc giữa (ABC) và (A'BC) là 60°. M là trung điểm AA'.Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách từ M đến (AB'C').
Giải:
Gọi N là trung điểm của BC ta có:

$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AA' \bot BC\left( {AA' \bot (ABC)} \right)\\ AN \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow A'N \bot BC\\  \Rightarrow \widehat {\left( {(A'BC),(ABC)} \right)} = \widehat {\left( {A'N,AN} \right)} = \widehat {ANA'} = {60^0}\\  \Rightarrow AA' = AN\,\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \frac{{3a}}{2}\\  \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8} \end{array}$$
Ta có: $$\left\{ \begin{array}{l} AA' \cap \left( {AB'C'} \right) = \left\{ {A'} \right\}\\ M \in AA' \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{d\left( {M \to (AB'C')} \right)}}{{d\left( {A' \to (AB'C')} \right)}} = \frac{{MA}}{{A'A}} = \frac{1}{2}$$ Gọi K là trung điểm của B'C', ta có:$\ B'C' \bot \left( {A'KA} \right).$
Trong (A'KA) dựng A'H vuông góc với AK ta thấy: $$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} B'C' \bot \left( {A'KA} \right)\\ A'H \subset \left( {A'KA} \right) \end{array} \right. \Rightarrow A'H \bot B'C';\,A'H \bot AK \Rightarrow A'H \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'H = d\left( {A' \to (AB'C')} \right)\\ \frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{K^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow A'H = \frac{{3a}}{4} \Rightarrow d\left( {M \to (AB'C')} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{4} = \frac{{3a}}{8} \end{array}$$