Mỗi ngày một tính chất hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Anh Thư Trần hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(-4;-2).

Góc $\hat{ACB}=75^{0}.$ Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình 2x+y=0. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho DC=2DB. Tìm tọa độ điểm A, biết góc $\hat{ADC}=60^{0}$ và A có hoành độ âm.
Giải:
Do biết phương trình AH và toạ độ điểm B, ta hoàn toàn lập được BC: x - 2y=0.Toạ độ điểm H là nghiệm của HPT:
$\ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 0\\ x - 2y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {0;0} \right) \Rightarrow HB = 2\sqrt 5 .$
$$\begin{array}{l} Coi\,AH = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} CH = \frac{x}{{\tan \,{{75}^0}}} = \frac{x}{{2 + \sqrt 3 }} = x\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\ \left( \begin{array}{l} Do\,\tan {75^0} = \tan \left( {{{45}^0} + {{30}^0}} \right)\\  = \frac{{\tan {{45}^0} + \tan {{30}^0}}}{{1 - \tan {{45}^0}.\tan {{30}^0}}} = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right)\\ DH = \frac{x}{{\tan \,{{60}^0}}} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3} \end{array} \right. \Rightarrow CD = HC + HD = x\left( {2 - \sqrt 3 } \right) + \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\\  \Rightarrow CD = \frac{{2x}}{3}\left( {3 - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow BC = \frac{3}{2}CD = x\left( {3 - \sqrt 3 } \right) \end{array}$$ Mà,$\ BC = CH + BH = x\left( {2 - \sqrt 3 } \right) + 2\sqrt 5  \Rightarrow x\left( {3 - \sqrt 3 } \right) = x\left( {2 - \sqrt 3 } \right) + 2\sqrt 5  \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \left( {HA = HB} \right).$
Gọi A(a;-2a) thuộc AH$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 20 = A{H^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow a =  \pm 2\\ a < 0 \end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 2;4} \right).$