Xác định nghiệm hình Oxy hợp lý.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn The lo hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm O. Điểm K(0;2) thuộc đoạn OA. M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và cùng nằm trên đường thẳng d: x - 1 = 0. Q là giao điểm của KM và BC. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông, biết điểm H(4;8) thuộc NQ.
Giải:
Ta thấy tam giác AMO vuông cân tại M nên AC tạo với MN một góc 45 độ.

Khi đó phương trình của AC là: y = - x + 2 hoặc y = x + 2.
- Xét AC: y = - x + 2. Khi đó O(1;1).
Ta gọi M(1;m) khi đó:\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
N\left( {1;2 - m} \right) \Rightarrow C\left( {3;2 - m} \right) \Rightarrow D\left( {2 - m;2 - m} \right)\\
A\left( {2 - m;m} \right) \Rightarrow B\left( {m;m} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MK:\left( {m - 2} \right)x - y + 2 = 0\\
BC:x = m
\end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {m;{m^2} - 2m + 2} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {HN}  = \left( { - 3; - m - 6} \right)\\
\overrightarrow {HQ}  = \left( {m - 4;{m^2} - 2m - 6} \right)
\end{array} \right.\\
\overrightarrow {HN}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {HQ}  \Leftrightarrow \frac{{m - 4}}{3} = \frac{{{m^2} - 2m - 6}}{{m + 6}}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right) \equiv O\left( L \right)\\
m = 3 \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3; - 1} \right),D\left( { - 1; - 1} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\]

- Xét AC: y =  x + 2. Khi đó O(1;3). Ta gọi M(1;n) khi đó: $\ \left\{ \begin{array}{l}
N\left( {1;6 - n} \right) \Rightarrow C\left( {4 - n;6 - n} \right) \Rightarrow D\left( {n - 2;6 - n} \right)\\
A\left( {n - 2;n} \right) \Rightarrow B\left( {4 - n;n} \right)
\end{array} \right.$\[\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MK:\left( {n - 2} \right)x - y + 2 = 0}\\
{BC:x = 4 - n}
\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {4 - n; - {n^2} + 6n - 6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {HN}  = \left( { - 3; - n - 2} \right)}\\
{\overrightarrow {HQ}  = \left( { - n; - {n^2} + 6n - 14} \right)}
\end{array}} \right.}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {HN}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {HQ}  \Leftrightarrow \frac{n}{3} = \frac{{{n^2} - 6n + 14}}{{n + 2}}\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 3 \Rightarrow A\left( {1;3} \right) \equiv O\left( L \right)}\\
{n = 7 \Rightarrow A\left( {5;7} \right),B\left( { - 3;7} \right),C\left( { - 3; - 1} \right),D\left( {5; - 1} \right) \Rightarrow 4\sqrt 2  = AO < AK = 5\sqrt 2 \left( L \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\]Vậy bài toán có một nghiệm hình: $\ A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3; - 1} \right),D\left( { - 1; - 1} \right).$