Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng x.
- Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC. Tìm điều kiện của x để (P) cắt cạnh SC tại C', (P) cắt SB, SD lần lượt tại B', D'.
- Tính V.SAB'C'D'.
Giải:- Xác định B',C' và D': Trong (SAC) dựng $\ AC' \bot SC\left( {C' \in SC} \right)$ và SO cắt SC' tại O'. Trong (SBD) dựng đường thẳng đi qua O' và song song với BD cắt SB và SD lần lượt tại B'và D'. Ta được B',C' và D' cần dựng. (Lý do dựng: $\ \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$ $\ \Rightarrow BD \bot SC \Rightarrow B'D'//BD\left( {B'D' \bot SC} \right)\left( 1 \right)$$\ \left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot SC\\A \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot SC\\AC' \in \left( P \right)\end{array} \right.$$\ \Rightarrow AC' \bot SC.$
Để (P) cắt SC tại C' nằm trong khoảng S và C thì tam giác SAC có góc ở đỉnh S phải nhọn nghĩa là: $\ \left\{ \begin{array}{l}\widehat {OSC} \in \left( {0;{{45}^0}} \right)\\\tan \,\widehat {OSC} = \frac{{OC}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2x}}\,\end{array} \right. \Rightarrow 0 < \frac{{a\sqrt 2 }}{{2x}} < 1 \Leftrightarrow x > \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ - Tính V: (Bài toán khiến chúng ta nghĩ ngay đến việc vận dụng công thức tỷ số thể tích và cách phân chia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác). Trước hết ta xét các tỷ lệ: $\ \left\{ \begin{array}{l}SC = SA = \sqrt {S{O^2} + O{C^2}} = \frac{{\sqrt {2{a^2} + 4{x^2}} }}{2}\\AC' = \frac{{SO.AC}}{{SC}} = \frac{{2x.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {2{a^2} + 4{x^2}} }} = \frac{{2ax}}{{\sqrt {{a^2} + 2{x^2}} }}\\SC' = \sqrt {S{A^2} - AC{'^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2} + 2{x^2}}}{2} - \frac{{4{a^2}{x^2}}}{{{a^2} + 2{x^2}}}} = \frac{{2{x^2} - {a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + 4{x^2}} }}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{2{x^2} - {a^2}}}{{{a^2} + 2{x^2}}}.$ $\ {\frac{{SO'}}{{SC}} = \frac{{SC'}}{{SO}} \Leftrightarrow \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SO'}}{{SO}} = \frac{{SC.SC'}}{{S{O^2}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {2{a^2} + 4{x^2}} }}{2}.\frac{{2{x^2} - {a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + 4{x^2}} }}}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - {a^2}}}{{2{x^2}}}}$
Áp dụng CT tỷ số thể tích ta có: $\ \frac{{{V_1}'}}{{{V_1}}} = \frac{{{V_2}'}}{{{V_2}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = 1.\frac{{2{x^2} - {a^2}}}{{2{x^2}}}.\frac{{2{x^2} - {a^2}}}{{{a^2} + 2{x^2}}} = \frac{{{{\left( {2{x^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{2{x^2}\left( {{a^2} + 2{x^2}} \right)}}.$
\[ \Rightarrow {V_1}' + {V_2}' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{2{x^2}\left( {{a^2} + 2{x^2}} \right)}}\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \frac{{{{\left( {2{x^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{2{x^2}\left( {{a^2} + 2{x^2}} \right)}}.V = \frac{{{a^2}{{\left( {2{x^2} - {a^2}} \right)}^2}}}{{6x\left( {{a^2} + 2{x^2}} \right)}}\]
