Cho các số thực x, y thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x,y \ge 0\\
x + y = 1
\end{array} \right.$ Tìm Min, Max của $\ {x^2} + {y^2}$
Giải:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
m = {x^2} + {\left( {1 - x} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 1 - m = 0\\
x \in \left[ {0;1} \right]
\end{array} \right.\]
Do PT phải có nghiệm thuộc đoạn [0;1] nên ta có: $\ 0 \le {x_1} \le {x_2} \le 1.$
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
t = 1 - x\\
2{\left( {1 - t} \right)^2} - 2\left( {1 - t} \right) + 1 - m = 0
\end{array} \right.$
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 1 - x\left( {0 \le {t_1} \le {t_2}} \right)\\
2{t^2} - 2t + 1 - m = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
S \ge 0\\
P \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge \frac{1}{2}\\
m \le 1
\end{array} \right.\]
Vậy GTNN của biểu thức là 1/2 và GTLN là 1.
