Cho các số thực x, y thỏa mãn: \ \left\{ \begin{array}{l} x,y \ge 0\\ x + y = 1 \end{array} \right. Tìm Min, Max của \ {x^2} + {y^2}
Giải:
Ta có: \left\{ \begin{array}{l} m = {x^2} + {\left( {1 - x} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 1 - m = 0\\ x \in \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.
Do PT phải có nghiệm thuộc đoạn [0;1] nên ta có: \ 0 \le {x_1} \le {x_2} \le 1.
Đặt: \ \left\{ \begin{array}{l} t = 1 - x\\ 2{\left( {1 - t} \right)^2} - 2\left( {1 - t} \right) + 1 - m = 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = 1 - x\left( {0 \le {t_1} \le {t_2}} \right)\\ 2{t^2} - 2t + 1 - m = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \ge 0\\ S \ge 0\\ P \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge \frac{1}{2}\\ m \le 1 \end{array} \right.
Vậy GTNN của biểu thức là 1/2 và GTLN là 1.
