Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 1
\end{array} \right.$. Tìm Min của:\[P = \frac{1}{{{a^4}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^4}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^4}\left( {a + b} \right)}}\]
Giải:
Ta có: $\ P = \frac{{{{\left( {abc} \right)}^4}}}{{{a^4}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^4}}}{{{b^4}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^4}}}{{{c^4}\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {bc} \right)}^4}}}{{b + c}} + \frac{{{{\left( {ca} \right)}^4}}}{{c + a}} + \frac{{{{\left( {ab} \right)}^4}}}{{a + b}}.$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxkia ta có:\[{\left( {\sqrt {b + c} .\frac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {c + a} .\frac{{{{\left( {ca} \right)}^2}}}{{\sqrt {c + a} }} + \sqrt {a + b} .\frac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{\sqrt {a + b} }}} \right)^2} \le 2\left( {a + b + c} \right)P.\]\[ \Leftrightarrow P \ge \frac{{{{\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} + {{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2}} \right]}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\]Theo Côsi ta lại có:$\ \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2a{b^2}c\\
{\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} \ge 2ab{c^2}\\
{\left( {ca} \right)^2} + {\left( {ab} \right)^2} \ge 2{a^2}bc
\end{array} \right.$\[ \Rightarrow {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} \ge {a^2}bc + a{b^2}c + ab{c^2} = abc\left( {a + b + c} \right) = a + b + c\]\[ \Rightarrow P \ge \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{3}{2}\sqrt[3]{{abc}} = \frac{3}{2} \Rightarrow Min\,p = \frac{3}{2}\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b= c = 1.
Mở rộng:
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 1
\end{array} \right.$. Tìm Min của:\[\frac{1}{{{a^{2013}}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^{2013}}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^{2013}}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}\]
