Đề bài: (Bài của bạn Hoa Dại hỏi)
Tìm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\left( C \right)$ 2 điểm A, B sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
Giải:
Gọi tọa độ A và B lầ lượt là: $A\left( {\alpha - 1;1 - \frac{4}{\alpha }} \right);\,\,B\left( { - \beta - 1;\,1 + \frac{4}{\beta }} \right);\,\,\alpha ,\beta > 0$
Khi đó: $A{B^2} = {\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + 16{\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }} \right)^2}$
Áp dụng BĐT: $\left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\left( {a,b > 0} \right)$ ta có:${\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }} \right)^2} \ge \frac{{16}}{{{{\left( {\alpha + \beta } \right)}^2}}} \Rightarrow A{B^2} \ge {\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + \frac{{{{16}^2}}}{{{{\left( {\alpha + \beta } \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{16}^2}} = 32$
Vậy $Min\,AB = 4\sqrt 2 $. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}
\alpha + \beta = 4\\
\alpha = \beta > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha = \beta = 2 \Rightarrow A\left( {1; - 1} \right)\,\,\& \,\,B\left( { - 3;3} \right)$
Bật mí:
Sở dĩ gọi tọa độ A và B như vậy vì ta lấy tiệm cận đứng x = -1 làm chuẩn, nhánh phải thì tịnh tiến sang phải $\alpha $ đơn vị và ${\alpha > 0}$...Tương tự, nhánh trái thì tịnh tiến sang trái $\beta $ đơn vị và ${\beta > 0}$
