Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là M(2,3) . Trực tâm H thuộc đường thẳng d: 3x-y-4 =0 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình x2 + y2 - x -5y + 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
Giải:
Trước hết ta sử dụng hình 1 để chứng minh 2 điều sau:
- $\ \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {ON} $ (N là trung điểm của BC)
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là (HBC) và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (ABC) đối xứng nhau qua BC.
Thật vậy, Ta thấy tứ giác BHCA' là hình bình hành vì:
BH // A'C (cùng vuông góc với AC)
CH // A'B (cùng vuông góc với AB).
Khi đó HA' và BC cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường. Nên ON là đường trung bình của tam giác AHA'. Và ta có: $\ \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {ON} $
Tiếp nữa, ta có: \[\widehat {BAD} = \widehat {BCD}\,;\,\widehat {BAD} = \widehat {BCH}\, \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {BCH}\]
Khi đó CB vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác CDH.
Và CB là đường trung trực của DH hay H và D đối xứng nhau qua BC.
Do H thuộc (BCH), D thuộc (ABC) nên (BCH) và (ABC) đối xứng nhau qua BC.
Khi đó tâm của (BCH) là I đối xứng với tâm O qua BC hay đối xứng nhau qua N.
Ta thấy đường thẳng (d) đã cho cắt đường tròn (HBC) tại 1 điểm có tọa độ (2, 2) nên H(2,2).
Phương trình đường tròn (HBC) được viết lại là: $\ {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}.$
Gọi điểm B(x ; y) là điểm nằm trên đường tròn (HBC) ở trên.
Gọi K là điểm đối xứng với H qua M thì K(2,4).
Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, HBC thì: $\ \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {KB} .$
Trong đó $\ I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)$ nên:
\[\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {KB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = {x_O} = {x_B} - {x_K}}\\
{{y_I} = {y_O} = {y_B} - {y_K}}
\end{array}} \right. \Rightarrow O\left( {\frac{5}{2} - x;\frac{{13}}{2} - y} \right)\]
Do OM vuông góc với BM nên:
\[\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - \frac{1}{2}} \right)\left( {2 - x} \right) + \left( {y - \frac{7}{2}} \right)\left( {3 - y} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{5}{2}x - \frac{{13}}{2}y + \frac{{23}}{2} = 0\]
Nhưng B lại thuộc đường tròn tâm I nên:$\ {x^2} + {\rm{ }}{y^2} - x - 5y + 4 = 0$ và ghép 2 phương trình lại đồng thời trừ cho nhau để được dạng thuần nhất với x và y ta có: \[ \Rightarrow x + y = 5 \Leftrightarrow y = 5 - x\]
Thay vào phương trình đường tròn (BHC) ta được x = 2 hoặc x = 1.
- Khi x = 2 ta thấy y = 3 trùng với điểm M.
- Khi x = 1 ta được y = 4 nên B(1 ; 4) và C(1 ; 1), A(3;2)
