Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC=b, AD=c và $\ \widehat {BAC} = \widehat {BAD} = \widehat {CAD} = \alpha .$Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Giải:
Giả sử a = min{a,b,c} khi đó trên AC và AD lầ lượt lấy C' và D' sao cho: AC'=AD'=a (như hình vẽ)
Do AB=AC'=AD'=a và $\ \widehat {BAC} = \widehat {BAD} = \widehat {CAD} = \alpha $ nên: $\ \Delta BAC = \Delta BAD = \Delta CAD.$\[ \Rightarrow BC' = C'D' = BD' = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2{a^2}cos\alpha } = \sqrt {4{a^2}\,si{n^2}\frac{\alpha }{2}} = 2a.sin\frac{\alpha }{2}\]Gọi O là tâm của tam giác đều BC'D' ta có AO chính là chiều cao của tứ diện ABC'D'. Do đó ta có:
\[{S_{\Delta BC'D'}} = {a^2}\sqrt 3 .si{n^2}\frac{\alpha }{2} \Rightarrow BO = \frac{{{{\left( {BC'} \right)}^3}}}{{4{S_{\Delta BC'D'}}}} = \frac{{8{a^3}.si{n^3}\frac{\alpha }{2}}}{{4{a^2}\sqrt 3 .si{n^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a.sin\frac{\alpha }{2}\]\[ \Rightarrow h = AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{a}{3}\sqrt {9 - 12si{n^2}\frac{\alpha }{2}} \]\[ \Rightarrow {V_{ABC'D'}} = \frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .si{n^2}\frac{\alpha }{2}.\frac{a}{3}\sqrt {9 - 12si{n^2}\frac{\alpha }{2}} = \frac{{{a^3}}}{3}\sqrt {sin\frac{{3\alpha }}{2}.si{n^3}\frac{\alpha }{2}} \]\[\frac{{{V_{ABC'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB}}{{AB}}.\frac{{AC}}{{AC'}}.\frac{{AD}}{{AD'}} = \frac{a}{a}.\frac{a}{b}.\frac{a}{c} = \frac{{{a^2}}}{{bc}}\]\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{bc}}{{{a^2}}}{V_{ABC'D'}} = \frac{{bc}}{{{a^2}}}\frac{{{a^3}}}{3}\sqrt {sin\frac{{3\alpha }}{2}.si{n^3}\frac{\alpha }{2}} = \frac{{abc}}{3}\sqrt {sin\frac{{3\alpha }}{2}.si{n^3}\frac{\alpha }{2}} \]
