Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AD. H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và $\ SH = a\sqrt 3 .$. Tính theo a khoảng cách giữa DM và SC.
Giải:
- Trước hết chúng ta xét bài toán trong hình học phẳng:
"Chứng minh trong hình vuông ABCD thì $\ CN \bot DM.$"
Thật vậy, ta thấy: $\ \Delta ADM = \Delta DCM.$ vì $\ \left\{ \begin{array}{l}
AD = DC = a\\
AM = DN = \frac{a}{2}\\
\widehat {MAD} = \widehat {NDC} = {90^0}
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {DCN}.$
Mặt khác, $\ \widehat {DCN} + \,\,\widehat {CND} = {90^0}.$
$\ \Rightarrow \widehat {ADM} + \widehat {CND} = {90^0}.$
$\ \Rightarrow \widehat {NHD} = {90^0} \Leftrightarrow CN \bot DM.$
- Dựng đoạn vuông góc chung:
Trong (SHC) dựng $\ HK \bot SC\left( {K \in SC} \right).$ Khi đó HK là đoạn vuông góc chung cần dựng. Thật vậy, $\ \left\{ \begin{array}{l}
SH \bot MD\\
CH \bot MD\\
HK \subset \left( {SHC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow MD \bot HK.$
$\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{C{H^2}}}\\
\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow D{H^2} = \frac{{{a^2}}}{5}\\
C{H^2} = D{C^2} - D{H^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{5} = \frac{{4{a^2}}}{5}
\end{array} \right.$$\ \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow HK = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}.$
