Giả sử Hypebol: $\ \left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$ cắt đường thẳng $\ \left( d \right):y = - x + m.$ tại 2 điểm M và N. Tìm m để đoạn MN ngắn nhất?
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của PT:\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\, = - x + m\\
x \ne - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = {x^2} - \left( {m - 4} \right)x - 2m + 1 = 0\\
g\left( { - 2} \right) \ne 0
\end{array} \right.\]
Ta thấy, luôn tồn tại M và N phân biệt vì:\[\left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} = {\left( {m - 4} \right)^2} + 4\left( {2m - 1} \right) > 0\\
g\left( { - 2} \right) = - 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 12 > 0\\
g\left( { - 2} \right) = - 3 \ne 0
\end{array} \right.\]
Khi đó gọi: \[\left\{ \begin{array}{l}
M\left( {{x_1};m - {x_1}} \right)\\
N\left( {{x_2};m - {x_2}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
M{N^2} = 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 2\left( {{m^2} + 12} \right) \ge 24\\
{x_1} + {x_2} = m - 4;\,\,{x_1}{x_2} = 1 - 2m
\end{array} \right.\]
Vậy $\ Min\,MN = 2\sqrt 6 \Leftrightarrow m = 0.$
