Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 8\\ x\left( {{y^3} - 2} \right) = 6 \end{array} \right.$

Đề bài: (Bài của bạn Satoh Yurika hỏi)
Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 8\\ x\left( {{y^3} - 2} \right) = 6 \end{array} \right.$
Giải:
Do x = 0 không là nghiệm của HPT nên từ HPT ta có:

$\ \left\{ \begin{array}{l} {x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 8\\ x\left( {{y^3} - 2} \right) = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 + 3y = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^3}\\ {y^3} - 2 = 3.\frac{2}{x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} = 2 + 3y\\ {y^3} = 2 + 3.\frac{2}{x} \end{array} \right.$
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{2}{x}\\ b = y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 3b + 2\\ {b^3} = 3a + 2 \end{array} \right.$

• Cách 1: (Dành cho các bạn chưa học 12 - Đạo hàm)

          $\ \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 3b + 2\\ {b^3} = 3a + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 3} \right) = 0\\ {b^3} = 3a + 2 \end{array} \right.$
         Do $\ {a^2} + ab + {b^2} + 3 = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{b\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0.$
         Nên:$\ \left\{ \begin{array}{l} a = b\\ {a^3} - 3a - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b\\ \left( {a - 2} \right){\left( {a + 1} \right)^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {a;b} \right) = \left( {2;2} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\\ \left( {a;b} \right) = \left( { - 1; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right) \end{array} \right.$

• Cách 2: (Dành cho các bạn học 12 - Đạo hàm)

        Do $\ \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 3b + 2\\ {b^3} = 3a + 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{a^3} - 2}}{3} = b\\ \frac{{{b^3} - 2}}{3} = a \end{array} \right.$ Xét hàm đặc trưng: $\ f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - \frac{2}{3} \Rightarrow f'\left( t \right) = {t^2} > 0,\forall t \ne 0.$
        Vậy f(t) đồng biến nên:
         $\ \left\{ \begin{array}{l} b = f\left( a \right)\\ a = f\left( b \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b\\ {a^3} - 3a - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {a;b} \right) = \left( {2;2} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\\ \left( {a;b} \right) = \left( { - 1; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right) \end{array} \right.$
                                  Vậy $\ S = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( { - 2; - 1} \right)\,} \right\}.$