Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 8\\
x\left( {{y^3} - 2} \right) = 6
\end{array} \right.$
Giải:
Do x = 0 không là nghiệm của HPT nên từ HPT ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 8\\
x\left( {{y^3} - 2} \right) = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 + 3y = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^3}\\
{y^3} - 2 = 3.\frac{2}{x}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} = 2 + 3y\\
{y^3} = 2 + 3.\frac{2}{x}
\end{array} \right.$
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{2}{x}\\
b = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^3} = 3b + 2\\
{b^3} = 3a + 2
\end{array} \right.$
- Cách 1: (Dành cho các bạn chưa học 12 - Đạo hàm)
{a^3} = 3b + 2\\
{b^3} = 3a + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 3} \right) = 0\\
{b^3} = 3a + 2
\end{array} \right.$
Do $\ {a^2} + ab + {b^2} + 3 = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{b\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0.$
Nên:$\ \left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
{a^3} - 3a - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
\left( {a - 2} \right){\left( {a + 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {a;b} \right) = \left( {2;2} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\\
\left( {a;b} \right) = \left( { - 1; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)
\end{array} \right.$
- Cách 2: (Dành cho các bạn học 12 - Đạo hàm)
{a^3} = 3b + 2\\
{b^3} = 3a + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{a^3} - 2}}{3} = b\\
\frac{{{b^3} - 2}}{3} = a
\end{array} \right.$ Xét hàm đặc trưng: $\ f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - \frac{2}{3} \Rightarrow f'\left( t \right) = {t^2} > 0,\forall t \ne 0.$
Vậy f(t) đồng biến nên:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
b = f\left( a \right)\\
a = f\left( b \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
{a^3} - 3a - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {a;b} \right) = \left( {2;2} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\\
\left( {a;b} \right) = \left( { - 1; - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)
\end{array} \right.$
Vậy $\ S = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( { - 2; - 1} \right)\,} \right\}.$
