Kỹ thuật giải PT vô tỷ nhờ máy tính Casio fx-570ES PLUS.

Trong những năm gần đây, đề thi ĐH đã sử dụng phương pháp này khá nhiều. Đó là khi với phương trình vô tỷ đã cho chúng ta có thể nhẩm bằng bút hoặc bằng máy tính Casio fx-570ES PLUS được 1 nghiệm ${x_0}$ của phương trình. Khi đó phương trình luôn có thể đưa về dạng tích: $\left( {x - {x_0}} \right)A\left( x \right) = 0$

Đến đây ta có thể giải phương trình đơn giản hơn là A(x) = 0 hoặc A(x) = 0 vô nghiệm với điều kiện nghiệm của phương trình đã đặt ở trên.

Ví dụ 1: ( Bài của bạn Văn Đức hỏi)

        Giải phương trình: $24{x^2} - 60x + 36 - \frac{1}{{\sqrt {5x - 7} }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} = 0\left( * \right)$

                                                          Giải

                                     Điều kiện: $x \ge \frac{7}{5}.$

           Ta nhẩm thấy $x = \frac{3}{2}$ là 1 nghiệm của PT, phân tích PT (*) ta có:

       \[\left( * \right) \Leftrightarrow 12\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {5x - 7} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow 12\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) + \frac{{\sqrt {5x - 7}  - \sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow 12\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) + \frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {5x - 7}  + \sqrt {x - 1} } \right)\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }} = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left[ {12\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{\left( {\sqrt {5x - 7}  + \sqrt {x - 1} } \right)\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }}} \right] = 0\]

            Do \[x \ge \frac{7}{5} \Rightarrow x - 1 \ge \frac{2}{5} > 0 \Rightarrow 12\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{\left( {\sqrt {5x - 7}  + \sqrt {x - 1} } \right)\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }} > 0\]

                                           Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{3}{2}$

Ví dụ 2: ( Đề thi ĐH Khối B - 2010)

        Giải phương trình: $\sqrt {3x + 1}  + \sqrt {6 - x}  + 3{x^2} - 14x - 10 = 0\left( * \right)$

                                                          Giải

                           Điều kiện: $ - \frac{1}{3} \le x \le 6$

        Ta nhẩm thấy x = 5 là nghiệm của PT, thêm bớt và trục căn thức ta có:

        \[\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x + 1}  - 4} \right) + \left( {\sqrt {6 - x}  - 1} \right) + \left( {3{x^2} - 14x - 5} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 5} \right)}}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {6 - x}  + 1}} + \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left[ {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1}  + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x}  + 1}} + \left( {3x + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)g\left( x \right) = 0\]

                                Với điều kiện trên ta thấy g(x) > 0 vậy x = 5 là nghiệm của PT.