Đến đây ta có thể giải phương trình đơn giản hơn là A(x) = 0 hoặc A(x) = 0 vô nghiệm với điều kiện nghiệm của phương trình đã đặt ở trên.
Giải phương trình: 24{x^2} - 60x + 36 - \frac{1}{{\sqrt {5x - 7} }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} = 0\left( * \right)
Giải
Điều kiện: x \ge \frac{7}{5}.
Ta nhẩm thấy x = \frac{3}{2} là 1 nghiệm của PT, phân tích PT (*) ta có:
\left( * \right) \Leftrightarrow 12\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {5x - 7} }} = 0
\Leftrightarrow 12\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) + \frac{{\sqrt {5x - 7} - \sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }} = 0
\Leftrightarrow 12\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) + \frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {5x - 7} + \sqrt {x - 1} } \right)\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }} = 0
\Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left[ {12\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{\left( {\sqrt {5x - 7} + \sqrt {x - 1} } \right)\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }}} \right] = 0
Do x \ge \frac{7}{5} \Rightarrow x - 1 \ge \frac{2}{5} > 0 \Rightarrow 12\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{{\left( {\sqrt {5x - 7} + \sqrt {x - 1} } \right)\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 7} \right)} }} > 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = \frac{3}{2}
Ví dụ 2: ( Đề thi ĐH Khối B - 2010)
Giải phương trình: \sqrt {3x + 1} + \sqrt {6 - x} + 3{x^2} - 14x - 10 = 0\left( * \right)
Giải
Điều kiện: - \frac{1}{3} \le x \le 6
Ta nhẩm thấy x = 5 là nghiệm của PT, thêm bớt và trục căn thức ta có:
\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x + 1} - 4} \right) + \left( {\sqrt {6 - x} - 1} \right) + \left( {3{x^2} - 14x - 5} \right) = 0
\Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 5} \right)}}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0
\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left[ {\frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x} + 1}} + \left( {3x + 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)g\left( x \right) = 0
Với điều kiện trên ta thấy g(x) > 0 vậy x = 5 là nghiệm của PT.