Tổng quát hóa một BĐT: \[m{a^2} + n{b^2} + p{c^2} \ge 4S\,\sqrt {mn + np + pm} \]

Bài toán xuất phát: 
Cho tam giác ABC có AB = a, BC =b, CA = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC và m, n, p là các số thực sao cho: m + n, n + p, p + m, mn + np + pm đều là các số dương: CMR: \[m{a^2} + n{b^2} + p{c^2} \ge 4S\,\sqrt {mn + np + pm} \]

 Giải:
Ta có: \[m{a^2} + n{b^2} + p\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab\,cos\,C} \right) \ge 4.\frac{1}{2}ab\,sin\,C\,\sqrt {mn + np + pm} \]\[ \Rightarrow {a^2}\left( {m + p} \right) + {b^2}\left( {n + p} \right) - 2ab.p\,cos\,C \ge 2ab\,sin\,C\,\sqrt {mn + np + pm} \]\[ \Rightarrow {a^2}\left( {m + p} \right) + {b^2}\left( {n + p} \right) \ge 2ab\,\left( {p\,cos\,C + sin\,C\,\sqrt {mn + np + pm} } \right)\] Chia cả 2 vế cho (ab) ta được:\[\frac{a}{b}\left( {m + p} \right) + \frac{b}{a}\left( {n + p} \right) \ge 2\left( {p\,cos\,C + sin\,C\,\sqrt {mn + np + pm} } \right)\]Áp dụng BĐT Côsi ta có:\[VT = \frac{a}{b}\left( {m + p} \right) + \frac{b}{a}\left( {n + p} \right) \ge 2\sqrt {\left( {m + n} \right)\left( {n + p} \right)} \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]Áp dụng BĐT Bunhiacôpxkia ta có:\[{\left( {\frac{{VP}}{2}} \right)^2} \le \frac{2}{2}{\left( {p\,cos\,C + sin\,C\,\sqrt {mn + np + pm} } \right)^2} \le \left( {co{s^2}C + si{n^2}C} \right)\left( {{p^2} + mn + np + pm} \right)\]\[ \Leftrightarrow V{P^2} \le 4\left( {p + m} \right)\left( {p + n} \right) \Leftrightarrow VP \le 2\sqrt {\left( {p + m} \right)\left( {p + n} \right)} \,\,\,\left( 2 \right)\]Từ (1) và (2) ta có được điều phải chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\[\frac{a}{b}\left( {m + p} \right) = \frac{b}{a}\left( {n + p} \right);\,\frac{p}{{cos\,C}}\, = \frac{{\sqrt {mn + np + pm} }}{{sin\,C}}\]Thay cos C và b vào theo a, m, n , p ta có:\[\frac{a}{{\sqrt {p + n} }} = \frac{b}{{\sqrt {m + n} }} = \frac{c}{{\sqrt {p + m} }}\]
Áp dụng cách chứng minh trên ta có thể mở rộng ra một số BĐT cụ thể sau:

1. Khi m=n=p ta có: $\ {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 4S\sqrt 3.$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
2. Khi $\ m = \frac{{bc}}{{{a^2}}};n = \frac{{ca}}{{{b^2}}};m = \frac{{ab}}{{{c^2}}} \Rightarrow ab + bc + ca \ge 4S\sqrt 3 .$
3. Khi $\ m = {a^2};n = {b^2};m = {c^2} \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge 4{S^2}.$
4. Khi $\ m = 9;n = 5;p =  - 3 \Rightarrow 9{a^2} + 5{b^2} - 3{c^2} \ge 4S\sqrt 3.$
5. Ta có: $\ \frac{m}{{n + p}}{a^2} + \frac{n}{{p + m}}{b^2} + \frac{p}{{m + n}}{c^2} \ge 2S\sqrt 3.$ Nhờ BĐT trung gian: $\ \frac{{mn}}{{\left( {n + p} \right)\left( {m + p} \right)}} + \frac{{np}}{{\left( {m + n} \right)\left( {m + p} \right)}} + \frac{{pm}}{{\left( {n + p} \right)\left( {m + n} \right)}} \ge \frac{3}{4}.$