Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a√2. Gọi M.,N lần lượt là trung điểm AA1 và BC1
a. Chứng minh: MN là đường vuông góc chung của các đường AA1 và BC1
b Tính thể tích M.A1BC1
Giải:
a. Ta có: $\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{B{M^2} = A{B^2} + A{M^2}}\\
{{C_1}{M^2} = {A_1}{C_1}^2 + {A_1}{M^2}}\\
{{A_1}M = AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};{\mkern 1mu} AB = {A_1}{C_1} = a}
\end{array}} \right.$$\ \Rightarrow BM = {C_1}M \Rightarrow MN \bot B{C_1}\left( 1 \right)$
Gọi E và F lầ lượt là trung điểm của BC và B1C1 ta có:
$\ \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{A_1}{N^2} = {A_1}{F^2} + F{N^2}}\\
{A{N^2} = A{E^2} + E{N^2}}\\
{NE = NF = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};{\mkern 1mu} {A_1}F = AE = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.$$\ \Rightarrow {A_1}N = AN \Rightarrow MN \bot A{A_1}\left( 2 \right).$
Vậy từ (1) và (2) ta thấy MN là đoạn vuông góc chung cần chứng minh.
b. Ta có: $\ {V_{M.{A_1}B{C_1}}} = {V_{B.{A_1}{C_1}M}} = \frac{1}{3}BA.{S_{\Delta {A_1}{C_1}M}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.$
