Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1,2,3 và n điểm phân biệt khác A,B,C,D.Tìm n biêt số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n+6 điểm đã cho là 439.
Giải:
Bài toán đếm số tam giác này được tuân theo nguyên tắc sau:
"Cứ 3 điểm không cùng nằm trên một cạnh ta có một tam giác"
Bởi vậy bài toán có thể chia thành 2 trường hợp sau đây:
TH1: Số đỉnh của tam giác chỉ lấy từ 2 cạnh bất kỳ.
Ta ký hiệu AB(1) nghĩa là cạnh AB có 1 điểm..tương tự cho các cạnh khác và ta có số tam giác là:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{AB\left( 1 \right)}}{{AD\left( n \right)}} = C_n^2\,;\,\frac{{AB\left( 2 \right)}}{{AD\left( n \right)}} = C_n^1 + 2C_n^2 = n + 2C_n^2;\,\frac{{AB\left( 3 \right)}}{{AD\left( n \right)}} = 3C_n^1 + 3C_n^2 = 3n + 3C_n^2\\
\frac{{AB\left( 1 \right)}}{{AD\left( 2 \right)}} = 1\,;\frac{{AB\left( 1 \right)}}{{AD\left( 3 \right)}} = 3;\frac{{AB\left( 2 \right)}}{{AD\left( 3 \right)}} = 2C_3^2 + 3C_2^2 = 6 + 3 = 9
\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow {S_1} = 6C_n^2 + 4n + 13\]
TH2: Số đỉnh của tam giác lấy từ 3 cạnh bất kỳ khi đó ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
AB\left( 1 \right).BC\left( 2 \right).AD\left( n \right) = 1.2.n = 2n\\
AB\left( 1 \right).DC\left( 3 \right).AD\left( n \right) = 1.3.n = 3n\\
BC\left( 2 \right).DC\left( 3 \right).AD\left( n \right) = 2.3.n = 6n\\
AB\left( 1 \right).BC\left( 2 \right).DC\left( 3 \right) = 1.2.3 = 6
\end{array} \right. \Rightarrow {S_1} = 11n + 6\]
Khi đó ta có: $\ S = {S_1} + {S_2} = 6C_n^2 + 4n + 13 + 11n + 6 = 439.$\[ \Leftrightarrow 3n\left( {n - 1} \right) + 15n + 19 = 439 \Leftrightarrow 3{n^2} + 12n - 420 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = - 14\left( { < 0} \right)
\end{array} \right.\]
Vậy số điểm trên cạnh AD là 10 điểm.
