Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 60 độ. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a.
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và AG cắt SC tại M. Khi đó M là trung điểm của SC.
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {MAB} \right)\\
CD \subset \left( {SCD} \right)\\
AB//CD\\
\left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = \left\{ M \right\}
\end{array} \right.$
$\ \; \Rightarrow \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN//CD\left( {N \in SD} \right).$
$\ \Rightarrow NS = ND.$
Đặt: $V = {V_{S.ABCD}};\,\,V' = {V_{S.ABMN}}$
${V_1} = {V_{S.ABC}};\,\,{V_1}' = {V_{S.ABM}}\,$
${V_2} = {V_{S.ACD}};\,\,{V_2}' = {V_{S.AMN}}$
Trong đó: ${V = {V_1} + {V_2}\left( {{V_1} = {V_2} = \frac{V}{2}} \right);\,\,\,\,\,V' = {V_1}' + {V_2}'}$
Khi đó: $\frac{{{V_1}'}}{{{V_1}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = 1.1.\frac{1}{2} \Rightarrow {V_1}' = \frac{{{V_1}}}{2} = \frac{V}{4}$
Và $\frac{{{V_2}'}}{{{V_2}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \Rightarrow {V_2}' = \frac{{{V_2}}}{4} = \frac{V}{8}$
$ \Rightarrow \frac{{V'}}{V} = \frac{{{V_1}' + {V_2}'}}{V} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
$ \Rightarrow V' = \frac{3}{8}V = \frac{3}{8}.\frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}.\frac{a}{2}.tan\,{60^0}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$
