Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} y\,{x^3} - {y^4} = 7\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 9 \end{array} \right.$
Giải
\[\left\{ \begin{array}{l}
y\,{x^3} - {y^4} = 7\\
{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y\left( {{x^3} - {y^3}} \right) = 7\\
y{\left( {x + y} \right)^2} = 9\\
x > y > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = \frac{7}{y}\\
{\left( {x + y} \right)^2} = \frac{9}{y}
\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} = \frac{7}{y}\\
x + y = \frac{3}{{\sqrt y }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{3}{{\sqrt y }} - y} \right)^3} - {y^3} = \frac{7}{y}\\
x = \frac{3}{{\sqrt y }} - y
\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \sqrt y > 0\\
{\left( {\frac{3}{t} - {t^2}} \right)^3} - {t^6} = \frac{7}{{{t^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t > 0\\
g\left( t \right) = 2{t^9} - 9{t^4} + 27{t^3} + 7t - 27 = {t^9} - {\left( {3 - {t^3}} \right)^3} + 7t = 0
\end{array} \right.\]
Ta có: $\ g'\left( t \right) = 9{t^8} + 3{t^2}{\left( {3 - {t^2}} \right)^2} + 7 > 0,\forall t > 0.$
Khi đó hàm g(t) đồng biến nên : g(t) = 0 có nghiệm duy nhất là t = 1.
Vậy HPT có nghiệm duy nhất (2;1)
