Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB=a, BC=2a. Hình chiếu của B' lên (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa CC' và (ABC) là \ {60^0} . Tính thể tích khối lăng trụ và góc tạo bởi HB' và (ABB') theo a.
Giải:
Gọi H là trung điểm của BC khi đó: \ B'H \bot \left( {ABC} \right).
Trong (BCC'B') dựng C'M // B'H (M thuộc BC) khi đó:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC = B'C' = HM}\\ {HB = HC} \end{array}} \right. \Rightarrow HB = HC = CM = \frac{{BC}}{2} = a \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {h = C'M = CM.ta{\mkern 1mu} n{\mkern 1mu} {{60}^0} = a\sqrt 3 }\\ {S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \end{array}} \right. \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}
Gọi N là trung điểm của AB ta có:\ \left\{ \begin{array}{l} HN \bot AB\\ HB' \bot AB\left( {HB' \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {HNB'} \right).
Trong (HNB') dựng \ HI \bot B'N. ta có:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {HI \bot B'N}\\ {HI\; \bot AB}\\ {B'N,AB \subset \left( {ABB'} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {ABB'} \right) \Rightarrow B'I = \frac{{h/c\left( {B'H} \right)}}{{\left( {ABB'} \right)}} \Rightarrow \left( {\widehat {B'H,\left( {ABB'} \right)}} \right) = \widehat {HB'N} \Rightarrow tan\widehat {HB'N} = \frac{{HN}}{{HB'}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow tan\left( {\widehat {HB',\left( {ABB'} \right)}} \right) = \frac{1}{2}
