Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB=a, BC=2a. Hình chiếu của B' lên (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa CC' và (ABC) là $\ {60^0}$ . Tính thể tích khối lăng trụ và góc tạo bởi HB' và (ABB') theo a.
Giải:
Gọi H là trung điểm của BC khi đó: $\ B'H \bot \left( {ABC} \right).$
Trong (BCC'B') dựng C'M // B'H (M thuộc BC) khi đó:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC = B'C' = HM}\\
{HB = HC}
\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow HB = HC = CM = \frac{{BC}}{2} = a\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h = C'M = CM.ta{\mkern 1mu} n{\mkern 1mu} {{60}^0} = a\sqrt 3 }\\
{S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}
\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\]
Gọi N là trung điểm của AB ta có:$\ \left\{ \begin{array}{l}
HN \bot AB\\
HB' \bot AB\left( {HB' \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {HNB'} \right).$
Trong (HNB') dựng $\ HI \bot B'N.$ ta có:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{HI \bot B'N}\\
{HI\; \bot AB}\\
{B'N,AB \subset \left( {ABB'} \right)}
\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {ABB'} \right)\]\[ \Rightarrow B'I = \frac{{h/c\left( {B'H} \right)}}{{\left( {ABB'} \right)}} \Rightarrow \left( {\widehat {B'H,\left( {ABB'} \right)}} \right) = \widehat {HB'N}\]\[ \Rightarrow tan\widehat {HB'N} = \frac{{HN}}{{HB'}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow tan\left( {\widehat {HB',\left( {ABB'} \right)}} \right) = \frac{1}{2}\]
