Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trang Linh hỏi)
Giải HPT (đỉnh thật):
$\ {\sqrt {3 + 2{x^2}y - {x^4}{y^2}} + {x^4}\left( {1 - 2{x^2}} \right) = {y^2}\left( 1 \right);\,\,\,1 + \sqrt {1 + {{\left( {x - y} \right)}^2}} = {x^3}\left( {{x^3} - x + 2y} \right)\left( 2 \right)}.$
Giải:
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {4 - {{\left( {{x^2}y - 1} \right)}^2}} = 2{x^6} - {x^4} + {y^2}\,\]\[\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0 = 1 + \sqrt {1 + {{\left( {x - y} \right)}^2}} - {x^6} + {x^4} - 2{x^3}y\]
Cộng vế với vế của 2 PT trên ta được: $\ \Rightarrow \sqrt {4 - {{\left( {{x^2}y - 1} \right)}^2}} = 1 + \sqrt {1 + {{\left( {x - y} \right)}^2}} + {x^6} + 2{x^3}y + {y^2}.$\[ \Leftrightarrow \sqrt {4 - {{\left( {{x^2}y - 1} \right)}^2}} = 1 + \sqrt {1 + {{\left( {x - y} \right)}^2}} + {\left( {{x^3} - y} \right)^2}\left( * \right)\]
Do $\ {\sqrt {4 - {{\left( {{x^2}y - 1} \right)}^2}} \le \sqrt 4 = 2;1 + \sqrt {1 + {{\left( {x - y} \right)}^2}} + {{\left( {{x^3} - y} \right)}^2} \ge 1 + 1 = 2}.$\[ \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} = V{P_{\left( * \right)}} \Leftrightarrow {x^2}y = 1;\,{x^3} = y;\,x = y \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\]
